Строительные исследования
страница - 0
ПРОГРАММИРУЕМОСТЬ МЕТОДА ПОГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Ни Минь Кань (ni@u-pereslavl.botik.ru)
Филиал Российского Университета Дружбы Народов
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Метод пограничных функций широко применяется в сингулярно возмущенных задачах. Большинство работ связано так или иначе с феноменом пограничного слоя. Хотя мы не можем получить точное решение, но можно построить его хорошее приближение - асимптотику. Главным преимуществом этого метода является стандартный алгоритм, т.е. возможность последовательно найти каждый член асимптотики. Такой метод должен хорошо реализоваться на компьютере. Здесь возникает такой вопрос: В каком множестве компьютер будет работать для этого метода. Потому что все операции, выполняемые на компьютере, заранее ограничены в определенном множестве. В работе [1] рассматривается регулярно возмущенная задача для оптимального управления. Если все следующие операции в методе нахождения асимптотики являются замкнутыми для данного множества A, то этот метод называем программируемым. Эти операции представляют собой 1) операцию сложения; 2) операцию умножения; 3) операцию возведения в степень; 4) операцию подстановки элемента в полином; 5) операцию частного дифференцирования. Для применений важным является понятие конечно программируемого метода, т.е. такого, где каждый элемент в процессе нахождения решения состоит
A
на компьютере можно выполнить за конечное число шагов.
В этом параграфе будет исследован метод построения асимптотики для сингулярно возмущенной задачи. Она отличается от работы [1] в том, что в асимптотику, кроме регулярных рядов, еще входят ряды погранс-лойных функций. Докажем, что в этом методе все операции не выходят
A
2. АЛГОРИТМ
Рассмотрим задачу Коши dz
е- = F(z,y,t), to < t < T,(2.1)
dtt = f (z,y,t)
x(to,e) = x°,(2.2)
где е - малый параметр, z и y - вектор-функции произвольных размерностей М и m. x означает z и y в совокупности, т.е. x = {z,y}. В работе [2] дается алгоритм построения асимптотики для задачи (2.1), (2.2) и имеется оценка
\\ x(t,e) - Xn(t,e) < cen+l, где Xn(t,n) = (x)n + (Ilx)n,
(x)n = xo(t) + txi(t) + ... + tnxn(t),
- регулярная часть асимптотики,
(IIx)n = nox(r) + cnix(r) + ... + enHnx(r),
погранслоиная часть асимптотики, где
j
пз x(t ) = xj(т) - YIт k xk>j-k
k=0
t - to т =-,
xk>i представляют собой fc-ый коэффициент, который получается из разложения xi(t) по степеням (t - t0), т.е.
xi(t) = xoi + (t - to)xii + ... + (t - to)kxki +----Для существования и единственности решения задачи (2.1), (2.2) нам нужны следующие условия [3]:
Условие 1. Пусть функции F(z,y,t) и f (z,y,t) бесконечно дифференцируемы. Пусть уравнение F(z, y,t) = 0 имеет изолированный корень относительно z : z = <p(y,t) а задача
F (Z,y,t) = 0,
y = f (z,y,t), y(°) = V°
имеет единственное решение y = y(t), соответствующее этому корню. Пусть решение т(т) задачи
z (°) = z0
существует при т > ° и стремится к точке покоя tp(y°, °) при т -> +оо.
Условие 2. Re\i (t) < °, t0 < t < T, i = 1,2,...,M, оде A,(t) собственные значения матрицы Fz(z(t),y(t),t).
Для главного члена х0(т) = {т0(т),у0(т)} получим задачу
= F (Z0,y0 ,t0), z0(°) = z°,(2.3)
= °, y0(°) = y°.(2.4)
Для членов асимптотики xk(т) = {zk(т),yk(т)} при к > 1 имеем ли-нбиныб равнения
= Fz0 (т )zi + Fy0 (т )y1 + Ft0 (т )т, zi(°) = °,(2.5)
= f0(z0,y0,t0), yi(°) = °,(2.6)
(iZhл
-Г- = Fzo(т)zk + Fyo(т)yk + Fk(т),zk(°) = °, к > 1, (2.7) т
= 1к-г(т),yk (°) = °, (2.8)
N+1p
Fk(т) = Т, P E (F*4)0 E ГК,(2.9)
p=2 P (li = 1,...,lp=1)aq>1,ai+...+ap=kq=1
k-1 1 N+1p
-1(т) = Т.P E (fx4 ..xP )0 E Цх%, (2.1°)
p=1 (li = 1,...,lp=1)aq >1,a1+...+ap=k-1 q=1
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]