Строительные исследования
страница - 0
Контурные колебания дисков иттриевого феррита-граната
Дорошенко Р.А. (dar@anrb.ru ), Серегин С.В. Институт физики молекул и кристаллов, Уфимский научный центр РАН.
Среди всевозможных видов свободных упругих колебаний незакрепленных тонких пластин можно выделить моды колебаний, спектр частот которых хорошо соответствует результатам теоретических расчетов в приближении плоского движения. Такие виды колебаний обычно называются контурными или колебаниями в плоскости [1,2]. В приближении плоского движения они соответствуют стоячим волнам, образованным суперпозицией продольных и поперечных волн, у которых направление распространения и упругие смещения параллельны главным поверхностям пластины.
Связь упругой и магнитной подсистем приводит к ряду интересных физических свойств, определяющих перспективы практического применения контурных видов колебаний магнитных материалов. Возможность бесконтактного возбуждения переменным магнитным полем в сочетании со слабой зависимостью частот мод от толщины пластин дают удобный метод определения упругих, магнитных и магнитоупругих параметров и изучения их изменений в результате внешних воздействий [3-6]. Контурные виды колебаний являются также одним из основных объектов исследования нелинейных свойств связанной магнитоупругой системы. Рассматриваются возможности их использования при разработке устройств обработки радиосигналов [7].
В настоящее время наиболее подробно исследован случай изотропных круглых пластин. Установлено, что экспериментально наблюдаемые частоты мод колебаний находятся в хорошем соответствии с результатами теоретических расчетов на основе модели бесконечно тонкой пластины [3]. Практически не исследован спектр контурных колебаний в анизотропных материалах. Теоретически рассмотренный в работе [2] специальный случай анизотропии строго применим только для четырех определенных срезов кварца. Экспериментальные исследования магнитных кристаллов в большинстве случаев ограничены изучением наиболее связанной с магнитной системой основной моды колебаний [4,5]. Большие трудности вызывает экспериментальное определение структуры мод колебаний [5]. Как в поликристаллических так и монокристаллических дисках неизвестны оптимальные для различных мод условия возбуждения переменным магнитным полем.
В данной работе приводятся результаты исследования контурных колебаний в монокристаллических и поликристаллических дисках иттриевого феррита-граната. Спектр частот и структура мод колебаний рассматриваются на основе теории контурных колебаний анизотропных круглых пластин. Показана зависимость условий возбуждения от ориентации постоянного поляризующего поля относительно осей мод контурных колебаний. Обсуждаются причины возникновения анизотропного вида спектра в поликристаллических дисках.
ТЕОРИЯ КОНТУРНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН
Свободные колебания круглых пластин в приближении плоского движения (контурные колебания) рассмотрены в работах [1-3]. Не смотря на значительное упрощение уравнений движения, точное решение задачи получено только для изотропного материала. Рассмотрим основные свойства контурных колебаний в изотропных и анизотропных круглых пластинах, основываясь, в основном, на результатах работ [1-3].
В изотропном материале удобно выразить вектор упругого смещения U(r) через скалярный Ф и векторный \/ потенциалы
I/(r)=grad<P+rot \\
В плоском случае отлична от нуля только одна из компонент векторного потенциала \/ =\\fz=\\f и расчет спектра частот и векторного поля амплитуд установившихся гармонических колебаний (структуры мод) сводится к нахождению решений системы двух скалярных уравнений Гельмгольца
A 0+kl20=0, A \/+ktV=0,
удовлетворяющих условию равенства нулю компонент тензора упругих напряжений Ту на контуре пластины. В уравнениях Гельмгольца- A -оператор Лапласса, kl и kt -волновые числа продольных и сдвиговых колебаний
kl=ro/Cl, kt=co/Ct,
где со -круговая частота. Скорости продольных Cl и поперечных Ct волн определяются модулями упругости материала
d=[(X+2i)/p]1/2, Ct=(/p)1/2,
где X и д -постоянные Ламе.
В цилиндрической системе координат с началом в центре диска и осью z направленной вдоль оси симметрии компоненты упругих смещений определяются выражениями
Ur=dO/dr+(1/r)(d47c)(p),
Иф= (1/r)(c)0/c)(p)- cHVdr.(1)
Компоненты тензора напряжений запишутся в виде
Trr=2(d20/dr2 +d/dr[(1/r)d47&p] }+ХАФ,
Trф=д{2д/дr[(1/r)дФ/дф]+AY-2д2Y/дr2}.(2)
Общее выражение для однозначных и регулярных при r=0 решений каждого из уравнений Гельмгольца имеет вид
Ф=AnJn(klr)cos(nф+фA),
вЦМпф+Фв),(3)
где n=0,1,2,..., Jn -функции Бесселя, Ап, Вп, фА, фв -произвольные постоянные. Подставляя (3) в (2) получаем
Trr=2i[AnF1(kl, r)cos(nф+фA) + BnF2(kt, r) sin(nф+фв)], Trj=[AnF3(kl, r)sin(nф+фA) - BnF4(kt, r) cos(nф+фв)],
где
F1(kl, r) =d2/dr2Jn(klr)-(l/2m)kl2Jn(klr), F2(kt, r)= n[(1/r2) Jn(ktr) - (1/r)d/drJn(ktr)], F3(kl, r)=2n[(1/r2) Jn(klr) - (1/r)d/drJn(klr)], F4(kt, r)= kt2 Jn(ktr) + 2d2/dr2Jn(ktr). Условие равенства нулю упругих напряжений на контуре диска (r=a) приводит к следующей системе уравнений
AnF1(kl, a) cos(nф+фA) + BnF2(kt, a) sin(nф+фв)=0
AnF3(kl, a) sin(nф+фA) - BnF4(kt, a) cos(nф+фв)=0.(4)
Не зависящие от ф решения этой системы уравнений (4) существуют если для постоянных Ф/\, фв -выполняется следующее соотношение
cosA-pB)=0.(5)
При выполнении условия (5) волновые числа, определяющие частоты свободных колебаний, определяются корнями частотного уравнения
F1F4-F2F3=0,(6)
и постоянные An и Bn связаны соотношением
Bn= -AnF1(kl, a)/F2(kt, a) = -AnF3(kl, a)/(F4(kt, a). Для каждого n частотное уравнение (6) имеет бесконечное но счетное число решений, обозначаемых индексом s (s=1,2, ...) в порядке их возрастания.
Таким образом, решения системы уравнений Гельмгольца, удовлетворяющие граничным условиям, могут быть записаны в виде
Ф=AnJn(klr) cos(ncp+cpA) \/=Ап F1(kl, a)(1/(F2(kt, a)) Jn(ktr) sin(n9+9A).(7)
Данные решения отличаются от полученных в [1,3] выражений для потенциалов наличием постоянной фА, которая отражает неопределенность ориентации мод в плоскости пластины. Из (6) и (7) следует, что частота и структура мод контурных колебаний изотропной круглой пластины не зависят от их ориентации.
Для классификации мод контурных колебаний изотропной круглой пластины используется двухиндексная система обозначений: (n,s). Здесь индекс n-угловой порядок моды, индекс s- номер решения (гармоники). При n=0 продольные и поперечные волны не связаны граничными условиями и можно выделить две серии мод нулевого углового порядка. В серии радиальных мод (R,s) колебания являются потенциальными. Упругие смещения
Ur=Aod/drJo(klr), Иф=0(8)
направлены по радиусу диска. Вторая серия мод нулевого углового порядка (Т) представляет серию мод равнообъемных колебаний. Для этих мод отлична от нуля только тангенциальная компонента упругих смещений
Ur=0, иф= Вод/dr Jo(ktr).(9)
При n>0 продольные и поперечные волны связаны граничными условиями и колебания являются смешанными
Ur=An[d/dr Jn(klr)+nF3(kl, a) /F4(kt, a) Jn(ktr)]cos(nф+фA) иф= -An[nJn(klr)+F3(kl, a) /F4(kt, a) d/dr Jn(ktr)]sin(nф+фA)(10)
В выражениях (8-10) волновые числа каждой моды определяются корнями частотного уравнения. При вычислениях удобно выражать параметры материала через модуль сдвига ц и коэффициент Пуассона v. В приближении бесконечно тонкого диска
л/(2ц)=у/(1-у) kl2=kt2(1-v)/2.
При v=0.3 решения частотного уравнения [3] дают следующую последовательность значений kta: 2.346, 2.734, 3.463, 3.601, 4.245, 4.689, 5.136,... соответствующих модам (2,1), (1,1), (R,1), (3,1), (2,2), (4,1), (T,1) и т.д.
В общем случае моды колебаний не имеют узловых линий в виде диаметров. Для характеристики ориентации мод колебаний можно использовать направления «узловых диаметров» для радиальных компонент упругих смещений, называемых далее осями мод колебаний.
Точное решение задачи о контурных колебаниях круглых пластин кристаллов произвольной симметрии возможно только численными методами. Для иттриевого феррита-граната, упругие свойства которого очень близки к свойствам изотропного материала, основные особенности контурных колебаний могут быть качественно рассмотрены на основе результатов, полученных в [2] для четырех слабо анизотропных срезов кристаллов кварца. Согласно [2] понижение симметрии приводит к снятию вырождения. Возможны две ориентации мод колебаний - две группы мод различной симметрии по терминологии работы
[2].
Выражения для компонент упругих смещений могут быть представлены в виде суперпозиции смещений различного углового порядка
Ur=EAnVAn (r) cos(),
U=ZBnVun (r) sin(nф)(11)
для мод одной ориентации и
Ur=ECnVcn (r) sin(nф),
U=ZDnVi>n (r) cos)(12)
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]