Строительные исследования
страница - 0
Самоограничение световых волн типа шепчущей галереи
Торчигин В.П. Институт проблем информатики РАН
1. Введение
Явления самовоздействия света, одним из которых является самофокусировка 2-мерных и 3-мерных световых пучков в однородной квадратичной нелинейной оптической среде, хорошо исследованы более 30 лет назад. Показано, что профиль двумерного (1+1 мерного) луча приобретает устойчивую форму в плоскости, перпендикулярной направлению распространения луча [1]. По мере распространения луча и ослабления его интенсивности ширина луча постепенно увеличивается, но его форма сохраняется. Показано, что такие же уравнения описывают распространение солитона в одномодовом световолокне.
Что касается 2+1-мерного луча диаметра D, то при некоторой мощности луча P>Pc происходит самофокусировка луча. При P<Pc поперечное сечение луча постепенно увеличивается. При этом Pc не зависит от D. Таким образом, луч в этом случае является неустойчивым.
Самофокусировка волн типа шепчущей галереи (ТТТГ) существенно отличается от указанных выше процессов. Волны ТТТГ известны главным образом как резонаторные моды, используемые в оптических резонаторах на основе стеклянных микросфер [2]. ШГ волна может быть представлена как бегущая волна, распространяющаяся вдоль экватора микросферы и многократно отражающаяся от сферической границы стекло-воздух. Подобные волны могут возбуждаться также в бочкообразных участках световолокна [3] ив цилиндрических световодах [4]. В последнем случае они называются туннелирующими модами. Представление о ТГ в волноводе может дать туннелирующий луч, распространяющийся внутри стеклянного цилиндра по спирали с постоянным шагом.
Принципиальным отличием ТГ волн является наличие радиационных потерь, которые возрастают при уменьшении диаметра световода. Однако на практике эти потери пренебрежимо малы. Свидетельством этому являются рекордно высокие добротности Q>109 стеклянных микросфер [5], диаметр которых равен всего нескольким десяткам микрон.
Среди множества специфических особенностей ТГ волн для рассматриваемой проблемы наиболее важной является то обстоятельство, что их групповая скорость может быть значительно меньше скорости света. В результате, плотность энергии в ТГ волне и, следовательно, напряженность электрического поля, которая ответственна за увеличение показателя преломления
в волне, оказывается значительно больше, чем в обычной волне такой же мощности. Это обстоятельство позволяет наблюдать самофокусировку ШГ волн при значительно меньших мощностях.
В процессе написания статьи стало ясно, что очень привлекательно выглядит гипотеза, что шаровая молния является примером самоограниченного излучения (СОИ). Эта гипотеза привела к более внимательному анализу формирования СОИ в газах, в частности, в воздухе. Структура статьи оставлена прежней, так как, по-нашему мнению, постепенный переход от известного к неизвестному позволит лучше понять механизмы и явления, ответственные за формирование СОИ и, возможно, шаровой молнии.
2. Самофокусировка ШГ волны вдоль оси цилиндра
Рассмотрим сначала эффекты, связанные с самовоздействием ШГ волны, приводящие к изменению параметров ШГ волны вдоль оси z бесконечного диэлектрического цилиндра с квадратичной нелинейностью (рис.1).
yI(x)
Рис. 1. Распространение ШГ волны в цилиндре
Такой цилиндр можно рассматривать как волновод, внутри которого распространяется ШГ волна. Известно, что распространение волны в любом волноводе описывается одномерным волновым уравнением.
+ к2и = 0( 1)
где kx обычно называется постоянной распространения. При этом
сои 2п
к2х = к2 - к,2, к = ™ = ™( 2)
где Xw - длина волны вдоль волновода, к=ссп/с, со - частота волны, п- показатель преломления цилиндра, к± -компонента волнового вектора, перпендикулярного оси цилиндра. В общем случае, если показатель преломления п является функцией x, параметры к и кх являются функциями x. Однако к± определяется только поперечным сечением волновода (радиусом цилиндра р0) и не зависит от x.
x
Распределение поля волны в поперечном сечении волновода определяется решениями двумерного уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями на границе световода. Различные решения этого уравнения соответствуют различным модам волновода. Для цилиндрического волновода моды характеризуются двумя индексами a и r, которые определяют количество вариаций поля вдоль азимутальной и радиальной координаты, соответственно. Распределение поля в поперечном сечении волновода для любой моды совпадает с распределением поля этой моды для стоячей волны при поперечном резонансе [6], при котором поле вдоль оси световода неизменно, то есть ?iw=oo.
Пусть в цилиндре вращается бесконечная ТГ волна, волновой вектор которой перпендикулярен оси цилиндра и, следовательно, ?iw=oo. Ограничим теперь указанную волну районом -n-1/2<x<n"7/2. В этом случае из-за оптического эффекта Керра показатель преломления в этом районе оказывается увеличенным на An=n2E2, где E - амплитуда напряженности поля световой волны, n2 - константа, характеризующая нелинейность квадратичной среды. Интенсивность световой волны I пропорциональна E . Известно, что район с увеличенным показателем преломления может выступать как волновод. В рассматриваемом случае такой волновод является замкнутым, то есть представляет собой кольцевой резонатор, ширина которого равна п-1. Распределение интенсивности световой волны вдоль ширины такого резонатора отличается от прямоугольного. Это приводит к тому, что приращение показателя преломления за счет эффекта Керра также отличается от прямоугольного и An(x)=n2E2(x). Таким образом, необходимо найти профиль показателя преломления An(x), в котором распространяющаяся световая волна имеет профиль I(x), обеспечивающий формирование профиля An(x) в соответствии с An(x)=n2E2(x).
Аналогичная задача рассматривается при анализе формирования и распространения двумерного 1+1 солитона вдоль оси z. Предполагается, что поле вдоль координаты y неизменно (2-мерный солитон) [1]. С учетом дифракционной расходимости и самофокусировки в квадратичной нелинейной среде распространение 1+1 волны в направлении оси z описывается следующим уравнением [1].
- 2А + + 2к0 Ъ- и 2\и = 0( 3)
z xn0
где £0=con0/c, n0- показатель преломления среды для волн малой интенсивности. Показано, что решением этого уравнения является следующая волна
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7]