Строительные исследования
страница - 0
ОБ УСЛОВИЯХ МОНОТОННОЙ СХОДИМОСТИ СТРУКТУРЫ НАСЕЛЕНИЯ К СТРУКТУРЕ СТАБИЛЬНОГО ЭКВИВАЛЕНТНОГО НАСЕЛЕНИЯ В КУЛЛБАКОВСКОЙ МЕТРИКЕ В РАМКАХ МОДЕЛИ ВОСПРОИЗВОДСТВА ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Эдиев Д.М. (dalkhat@hotmail.com)
Карачаево-Черкесский государственный технологический институт
В статье исследуются асимптотические свойства моделей воспроизводства демографического потенциала, обобщающих известный класс моделей передвижки по возрастам. Получены необходимые и достаточные условия монотонной сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в Куллбаковской метрике. В работе развиваются известные результаты Шоена и Кима по монотонной сходимости возрастной структуры в модели передвижки.
Введение
Статья посвящена исследованию условий монотонной сходимости возрастной структуры населения в моделях воспроизводства демографического потенциала [1], обобщающих известный класс моделей передвижки по возрастам [2, 3]. В модели передвижки по возрастам динамика численности младшей возрастной группы населения описывается с помощью следующего соотношения:
X
«0 ((+1)= Z «0 ((- x )LXFX(1)
x=0
где n0 (t) - численность младшей возрастной группы (обычно - возраста менее одного года) в момент времени t; индекс "0" соответствует младшей, а "X" - старшей возрастным группам; Lx, x = 0, X - коэффициенты дожития, равные вероятности перехода (дожития) из младшей возрастной группы в группу возраста x; Fx, x = 0, X - коэффициенты рождаемости, скорректированные с учетом младенческой смертности.
Для модели передвижки показано, что при заданных показателях воспроизводства, какой бы ни была начальная возрастная структура, асимптотически она сходится к стандартной возрастной структуре, определяемой только режимом воспроизводства. Население, обладающее асимптотической возрастной структурой, определяемой заданным режимом воспроизводства, получило название стабильного эквивалентного населения [4]; теория стабильного населения восходит к работам Л. Эйлера, Т. Мальтуса и А. Лотки. Указанное выше свойство сходимости к стандартной возрастной структуре (т.н. свойство эргодичности) было исследовано в непрерывном случае Лоткой, Шарпом и Коулом и в дискретном случае - Лесли, Лопесом и Парлеттом. Позже это свойство было обобщено Кохеном на случай стохастической модели воспроизводства. Доказательство и библиографию можно найти у Артура [5, 6]. В контексте дальнейшего изложения важно отметить то, что при должном выборе меры близости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения, указанная выше сходимость монотонна, т. е. с течением времени реальная возрастная структура монотонно приближается к структуре стабильного населения [7].
Модель воспроизводства демографического потенциала так же может быть сведена к виду (1), однако, коэффициенты Fx, x = 0, X в этой модели получаются не на основе коэффициентов рождаемости, а рассчитываются исходя из заданного режима воспроизводства и структуры демографического потенциала [1]:
Fx = Л - Px(2)
где Px, x = 0,X - коэффициенты передвижки [2, 3], равные вероятностям перехода (дожития) из заданной возрастной группы в следующую; cx, x = 0,X - заданная возрастная структура демографического потенциала. Демографический потенциал [1, 8] является обобщением репродуктивного потенциала Р.А. Фишера [9] на случай произвольной модели воспроизводства населения. Можно показать [1], что при должном выборе структуры демографического потенциала величины (2) обращаются в коэффициенты рождаемости модели передвижки (1), т. е. модель передвижки является частным случаем модели воспроизводства демографического потенциала. Разработка модели воспроизводства населения в форме модели воспроизводства демографического потенциала обладает рядом преимуществ. В частности [1], модель воспроизводства демографического потенциала допускает удобную формулировку на агрегированном уровне, без детализации возрастной структуры населения. Агрегированные демографические и экономико-демографические модели, построенные таким образом, показали хорошую адекватность реальным процессам и пригодность для практических расчетов [10, 11]. Эти модели были успешно использованы для анализа тенденций воспроизводства и прогнозирования численности населения [1], ретроспективных демографических расчетов и реконструкции динамики демографических показателей [12].
Актуален вопрос о том, сохраняется ли свойство эргодичности, верное для моделей передвижки, в более широком классе моделей воспроизводства демографического потенциала. В настоящей работе исследуются условия монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в Куллбаковской метрике, которая использовалась в работе Шоена и Кима [7].
Для стабильного эквивалентного населения динамика численности населения и всех его возрастных групп экспоненциальная [4], в частности
n* (() = n* (0)Al(3)
где звездочкой отмечены показатели стабильного эквивалентного населения, а Л -коэффициент Лотки, определяемый, как легко видеть из (1), (3), соотношением:
Ъ1,ХЛ-x-1 = 1
x=0
При заданных показателях дожития динамика возрастной структуры населения однозначно определяется динамикой численности младшей возрастной группы:
nx (t) = n0 (t - x)Lx
Поэтому сходимость возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения равносильна асимптотической эквивалентности n* (() и n0 (t) при
t --со .
Учитывая (3) и то, что сходимость возрастных структур реального и стабильного эквивалентного населения равносильна сближению динамики численности младшей возрастной группы, достаточно [6] исследовать условия сходимости для численности младенцев, скорректированной с использованием коэффициента Лотки:
г. n0 (t) j * def * (n)
bt = -0AZ - b = n* (0) при t - с
где постоянную b* можно найти из условия равенства демографических потенциалов населения и его стабильного эквивалента [1]:
b * = сй = C0)(4)
Л • U U
def Xdef LX
где U = 2 j ux , ux = cx -; C(()= 2Z cxnx (t) - общий демографический потенциал населения в
x=0Лx=0
момент времени t. В новых обозначениях модель воспроизводства (1), (2) можно переписать:
bt+1 = Z A xbt-x(5)
x=0
def
где A x = ux - Ux+1.
1. Условия монотонной сходимости в Куллбаковской метрике 1.1. Куллбаковское расстояние в демографическом анализе
Исследуем условия монотонной сходимости bt к Ъ* при t -» j. Разумеется, является
ли сходимость (если она имеет место) монотонной, или нет, зависит от выбора меры близости к предельному значению. В литературе уже предпринимались попытки подобрать метрику, естественную для описания возрастного распределения демографических параметров. К наиболее ранним работам следует отнести серию статей Ллойда Деметриуса [13-20], в которых термодинамическая концепция энтропии была использована для описания распределения параметров рождаемости, смертности, а так же численности населения. В контексте проблемы асимптотики моделей воспроизводства, монотонной сходимости к структуре стабильного населения энтропийная метрика (точнее, более общий класс Куллбаковского информационного расстояния) была предложена Тулджапуркаром [21], Шоеном и Кимом [7], которые перенесли соответствующие концепции термодинамики и теории информации [22] на демографические модели передвижки. Причем, оказалось, что для модели передвижки сходимость к структуре стабильного эквивалентного населения монотонна в Куллбаковской метрике [7].
Куллбаковское расстояние между структурой населения и структурой стабильного эквивалентного населения может быть записано как [7]:
K(() = Jq(x, t)lnf dx ,(6)
/ ч n(x, t )v(x, t)
где q(x, t) = --j-\-- распределение по возрасту репродуктивного потенциала Фишера в
заданный момент времени, а s(x,t) - аналогичное распределение для стабильного эквивалентного населения. Как показано в [7], (6) меняется в пределах от 0 до 1. Причем, производная Куллбаковского расстояния (6) строго положительна, если только возрастная структура населения не совпадает со структурой его стабильного эквивалентного населения.
С учетом вышесказанного, интересно исследовать, насколько монотонность в метрике Куллбаковского типа, показанная для модели передвижки, может быть перенесена на более широкий класс моделей воспроизводства демографического потенциала.
Поскольку информационное расстояние рассчитывается как расстояние между двумя
и «0 (t)
распределениями вероятностей, от величин bt = 01 , введенных выше, следует перейти к
другим показателям, формирующим некоторое распределение вероятностей. Учитывая результаты по информационному расстоянию, приведенные выше, следует выбрать новые показатели так, чтобы они задавали возрастное распределение демографического потенциала населения. Поэтому перейдем к анализу следующих величин:
Ух с (()с (0)Лc(0) с (0)1 ;
Понятно, что (7) есть некоторое распределение вероятностей, если только все величины ux
неотрицательны, что и будет предполагаться ниже. Это несколько сужает класс моделей воспроизводства потенциала, но он все еще остается шире класса моделей передвижки.
В каждый заданный момент времени t величины vtx задают распределение
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2]