Строительные исследования

назад Оглавление вперед

страница - 1

В них модель будет выглядеть следующим образом (для удобства штрихи опустим):

dM P

-=--M - b -sP(21)

dt 1+1P (21)

dPP

а-= kM

dt1+1 P

(2.2)

Рассмотрим особые точки системы (2.1)-(2.2). Выразив из второго уравнения Mчерез P и подставив в первое, получим следующее уравнение:

(1 -T-TPT - b = 0.(2.3)

Сначала исследуем равенство (2.3) в области P>0. После домножения обеих частей на знаменатель оно может быть записано в виде:

sP2 + (s-1 + - + b) P + b = 0.(4)

Условия существования положительных решений уравнения (2.4) следующие:

1 2

(s-1 + -+ b)2 >4sb я(25)

S- 1 + - + b < 0(2 6)

Итак, при выполнении условий (2.5)-(2.6) система (2.1)-(2.2) имеет два

положения равновесия при P>0. Если эти условия не выполняются, то

положений равновесия с >0 не существует.

Теперь рассмотрим случай отрицательных P. Такие значения P можно интерпретировать, как невыполненные обязательства по продажам. С помощью простых преобразований уравнение (2.3) сведется к следующему:

sP2 + (1 - - + b -s)P - b = 0(27) к

Условие существования решений уравнения (2.7) выглядит так:

(1 - - + b-S)2 + 4sb > 0(28)

Параметр b отражает постоянные издержки и по смыслу есть

положительная величина. S также по сути положителен. Тогда условие (2.8) выполняется всегда. Более того, согласно теореме Виета, произведение корней

- ь

должно равняться, отрицательной величине, значит корни должны быть

разного знака, а из этого следует, что в области P<0 всегда существует одно положение равновесия.

Теперь зафиксируем параметры a, s, к, а будем варьировать параметр b. Пусть сначала b мал, а все остальные параметры подобраны так, чтобы выполнялись условия (2.5)-(2.6). В этом случае имеются три положения равновесия. Верхнее и нижнее равновесия являются устойчивыми, а среднее -неустойчивым равновесием типа «седло». Таким образом, в данном случае у системы (2.1)-(2.2) существует два аттрактора: благополучие (верхнее равновесие) и банкротство (нижнее равновесие). Через среднее равновесие проходит сепаратриса, разделяющая области притяжения этих двух аттракторов. В данном случае система достаточно быстро выходит на одно из положений равновесия, которое однозначно определяется начальными условиями.

Теперь начнем увеличивать b. Изоклины в первом квадранте будут сближаться, верхняя особая точка будет постепенно приближаться к средней, и при обращении неравенства (2.5) в равенство они сольются. Изоклины при этом будут касаться друг друга. Система войдет в критическую точку, или точку бифуркации. При дальнейшем увеличении b изоклины раздвинутся, при этом положения равновесия в положительном квадранте исчезнут, останется только «отрицательное» равновесие.

Отсюда видно, что существует два сценария банкротства. Первый сценарий -при фиксированных параметрах к, s, b, меняются динамические переменные M и P, и система переходит в область притяжения нижнего аттрактора. При этом верхнее равновесие никуда не исчезает. Этот сценарий можно реализовать, неосторожно потратив некоторую часть оборотных средств, или взяв на себя чрезмерные обязательства, не изменив при этом структуру производства.

Второй сценарий - перечисленные выше параметры меняются так, чтобы равновесия в положительном квадранте исчезли. При этом возможен случай, когда осталось одно нижнее равновесие, но нулевые изоклины расположены очень близко друг к другу. То есть система уже прошла точку бифуркации, но по-прежнему находится вблизи от нее. В этом случае можно наблюдать явление скрытого банкротства, которое заключается в том, что динамические переменные, прежде чем перейти в отрицательную область, конечное время

задерживаются около определенного положительного положения. Такая ситуация отражена на рисунке. Видно, что система примерно до 250-го цикла задерживается в положительном квадранте, после чего резко переходит в нижнее положение равновесия. При этом, изначально система находится в области притяжения нижнего аттрактора, но, если следить за динамикой временных рядов на участке до момента банкротства, может сложиться ложное впечатление, что предприятие выходит на благополучное равновесие. Чем ближе к точке бифуркации находится система, тем дольше она «зависает» в положительном квадранте и тем позднее наступает необратимое банкротство. Время «зависания» назовем лаг-периодом.

Теперь рассмотрим, что может произойти, если предприятие возьмет кредит. В этом случае увеличивается M, но при этом увеличивается и b (кредит нужно возвращать с процентами). Рассмотрим случай, когда b изменяется только за счет кредитной ставки, а остальные параметры остаются без изменения. То есть предприятие привлекает средства со стороны только для того чтобы увеличить свой оборотный капитал.

Если существует три положения равновесия и система находится в верхнем положении, то кредит не может улучшить состояние предприятия. Ведь при этом увеличится параметр b, что влечет за собой «понижение» верхнего равновесия. А если при этом система проходит точку бифуркации, то оно и вовсе исчезает.

Если же система находится в нижнем равновесии и при этом существует верхнее, то с помощью кредита можно перескочить в состояние благополучия. Для этого нужно пересечь сепаратрису. Однако в этом случае нужен кредит с такой кредитной ставкой, чтобы не пройти точку бифуркации.


\		---------1	--------1
\ ..А		1	J
\ \
ч		---------1	--------1
	~ --

			V \

О50100150200250300350400

Зависимость M и P от времени в случае скрытого банкротства. Сплошная линия - M(t), пунктирная - P(t).

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2]