Строительные исследования

*i4

0.001386269808420485617710900633, 0.000594678842962270937946028594.

Результаты вычислений прибыли h по потенциалам G2(p, q) и G3(p, q) приведены в табл. 3, 4 приложения и показывают, что при m = 4 точность аппроксимации исходных данных на порядок выше, чем при потенциале G((p, q), она практически идеальна. Однако, потенциал G3(p, q) аккумулирует в себе все погрешности, содержащиеся в исходных данных. Хорошо это или плохо ? Чтобы ответить на такой вопрос необходимо провести глубокий анализ результатов вычислений. Системы первого приближения, отвечающие G((p, q), G2(p, q), незначительно отличаются, в то время как система первого приближения, которая соответствует G3(p, q), описывает принципиально другое поведение исследуемого процесса.

Потенциалы G((p, q), G2(p, q), G3(p, q) позволяют построить три различные по сложности модели вида (1.4), адекватные одним и тем же статистическим данным. Ниже кратко анализируются особенности процедуры идентификации этих моделей и различия в их свойствах.

3.2 Результаты идентификации

По данным табл. 1 алгоритм идентификации следует осуществлять при N = 15, однако, к сожалению, это оказалось невозможным выполнить в среде системы аналитических вычислений. При попытках провести такие расчеты появляется сообщение: слишком много вычислений. Во всех случаях необходимый объем вычислений успешно выполняется при N = 4. Результаты таких вычислений и приводятся ниже.

При N = 4 статистические данные регулярны и не требуется введение параметров точности, поэтому при равных нулю параметрах точности осуществлялась итерационная процедура вычисления средних значений ) , Vkf ), [k = 1, 2, 3} искомых управлений (пункт 3.4 алгоритма идентификации). В качестве стартового процесса использовались соотношения (2.8). Для иллюстрации скорости сходимости в табл. 5 приведены результаты расчетов по s = 10 итерациям в случае, когда используется потенциал G((p, q). Эти данные показывают, что точность результата 10-3 достигается после 5 итераций, 10-4 - после 7 итераций, 10-5 - после 9 итераций. Точность 10-i8 достигается после 30 итера-

a(3)=- 1.038658878539492732038804372200, = 0.389359385042560318657088297831,

а23)=- 0.529230732480830568438127272466,

a33)=- 0.055684610054716196861804842321,

43)= 0.153845936744084174791915593781,

43)=- 0.106811649432041520369020500429,

a63)= 0.002432035121411518276212613430,

43)=- 0.009220619154626795932569910735,

43)= 0.011321888133807857480597076131,

a93)=- 0.004421821562569791554069264656,

a(i30)= 0.000057368354537261489893210804,

afi=- 0.000435826108966901507568858908,

ai?= 0.001184463013865856104161841455,

ций. Аналогичный результат при N = 4 получается также в случае, когда используются потенциалы G2(p, q), G3(p, q).

Была выполнена проверка правильности результата вычислений. Для этого средние значения управлений uk ,vk , при различных значениях s подставлялись в исходную нелинейную систему (1.4) и производилось вычисление порождаемого ими решения. Оказалось, что приемлемый результат для рассматриваемых статистических данных получается сразу после первой итерации! Это значит, что предложенный выше стартовый процесс (2.8) является весьма удачным. Чтобы оценить пригодность моделей для прогноза при значениях t 3 управления предполагались постоянными и равными

3 , v3

\ Результаты таких вычислений при s = 1 приведены в табл. 7 - 12.

В табл. 7, 8 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при G =

G1(p,q), (3.1) для начальных условий p(0) = p*(0), вляющих функциях:

q(0) = q*(0) и следующих упра-

u(1)(t) =

= 7.8894907027 = 8.4194377032 = 9.6809524513

0 t < 1

1 t < 2

2 t 15

v(1)(t) =

1(1) 2(1)

(1)

= 5.7031822649 = 5.3397219282 = 5.9266375608

0 t < 1

1 t < 2

2 t 15

В табл. 9, 10 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при G = G2(p,q), (3.2) для начальных условий p(0) = p*(0), q(0) = q*(0) и управляющих функций:

u(1)(t) =

(1)

v(1)(t) = { v

1(1)

2(1)

= 15.4804298923 = 18.9891608202 = 22.7744300419

= 20.6216898744 = 24.7590338414 = 26.0659706658

0 t < 1

1 t < 2

2 t 15

0 t < 1

1 t < 2

2 t 15

В табл. 9, 10 представлены результаты вычисления решения системы (1.4) при G =

G3(p,q), (3.3) для начальных условий p(0) = p*(0), ций:

f u(11) = 1.1734547807 u(1)(t) = <j u21) = 1.1725439941 (1) = 1.1725439946

v(1)(t) =

u(31)

= 0.6396305143 = 0.5646256255 = 0.8873636559

q(0) = q*(0) и управляющих функ-

, 0 t < 1 , 1 t < 2 , , 2 t 15

, 0 t < 1 , 1 t < 2 . , 2 t 15

Данные табл. 7 - 12 показывают, что идентификация моделей по первым четырем точкам статистических данных производится практически безошибочно в случае, когда используются потенциалы G1(p, q), G2(p, q) (табл. 7 - 10). В случае, когда используется

потенциал G3(p, q), ошибка идентификации приемлема (табл. 11, 12). Вполне возможно, что эта ошибка может быть уменьшена, если провести более точные вычисления. Дело в том, что выбирая стартовый процесс (2.8), мы ищем функции u(s)(t), v(s)(t) в виде отрезков рядов по степеням t. При переходе к следующему шагу при использовании потенциала G3(p, q) старшая степень таких отрезков возрастает в 5 раз. Следовательно, объем вычислений катастрофически растет и практически на третьем шаге итераций не хватает ресурсов используемого пакета символьных вычислений. Из-за этого в программу вычислений вводились ограничения на старшую степень используемых полиномов. Допустимые пределы таких ограничений оценить не удалось. Поэтому вопрос о возможности использования потенциала G3 (p, q) для моделирования остается открытым.

Из результатов расчетов, приведенных в табл. 7 - 12 следует, что модели вида (1.4), отвечающие потенциалам G( (p, q) G2(p, q) вполне пригодны для долгосрочного прогноза (до 10 лет). Максимальная ошибка прогноза при не реалистическом предположении, что в экономике будут отсутствовать изменения, в отдельные годы менее 14 процентов, качественный характер развития процесса полностью подтверждается. Подчеркнем, что столь оптимистичный вывод справедлив только в рамках изучаемых данных. В общем случае достоверность прогноза по модели (1.4) целиком зависит от качественных экспертных сценариев изменения темпов роста производства.

Чтобы продолжить процедуру идентификации при N > 4 необходимо провести аналогичные вычисления для следующих четырех точек исходных данных. Для этих данных в целях регуляризации процедуры вычислений необходимо вводить параметры точности. Путем вычислительных экспериментов мы убедились, что при соответствующем выборе параметров точности итерационный алгоритм идентификации сходится. Однако, высокой точности в обеспечении необходимого равенства (1.5) добиться не удалось. Это объясняется тем, что предварительно не была проведена фильтрация исходных данных и их разброс здесь оказывает существенное влияние.

Для проведения точных расчетов при N = 5 были введены параметры точности, которые вычислялись как решения экстремальных задач (2.15). Полученные после первой итерации средние значения управлений uki), vki) при k = 1, 2, 3,4 для прогноза при значениях t 4 были продолжены постоянными и равными u4(), v4(). В результате решение модели (1.4) при G = G((p, q), (3.1) вычислялось при управлениях:

u(i)(t) =

(i)

= 7.8894907027 = 8.4194377032 = 9.6809524513 = 12.9151313628

0 t < 1

1 t < 2

2 t < 3

3 t 15

v(i)(t) =

(i)

= 5.7031822649 = 5.3397219282 = 5.9266375608 = 7.2919026749

0 t < 1

1 t < 2

2 t < 3

3 t 15

Результаты таких вычислений приведены в табл. 13,14. Они показывают, что точность идентификации и прогноза существенно улучшились. Появившиеся колебания в данных привели, естественно, к сокращению допустимых сроков прогноза.

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10]