Строительные исследования

q[s) = Г Q(s)(t) dt, {k =1,...,N}.(2.18)

Jk-i

Предположим, что величины pks), £kS), {k = 1,N} отличны от нуля и вычислим средние значения оптимальных управлений u( s)(t),v(s)(t) при t G [k - 1,k]:

uks) = 4y Г P (s)(t)u(s)(t) dt, {k =1,...,N},(2.19) pk Jk-i

vks) = 4y Г Q(s)(t)v(s)(t) dt, {k = 1,...,N}.(2.20)

Очевидно, что управления u(t) = uks),v(t) = vks) переводят системы (2.9), (2.10) в то же самое состояние, что и исходные управления, которым они отвечают. Если же какая-либо из величин pks), ks), {k = 1,N} равна нулю, то в качестве среднего значения соответствующего управления можно выбирать произвольную конечную величину. Мы будем выбирать такое среднее значение управления из условия непрерывности, т.е. равным его предыдущему среднему значению.

Примем следующий критерий остановки счета в итерационной процедуре: при выбранных значениях параметров точности , Pks) счет прекращается на шаге с номером s, если

max{ uks) - uks-i) , vks) - vks-i) , {k =1,...,N}} < в,(2.21)

где в - заданное заранее достаточно малое положительное число.

2.4 Итерационный алгоритм построения моделей

Таким образом, на основании вышеизложенного, приходим к выводу, что для построения предлагаемых макроэкономических моделей необходимо выполнить следующие вычисления.

1.Одним из стандартных методов провести фильтрацию статистических данных, т.е. избавиться от больших случайных выбросов (ошибок).

2.Вычислить макроэкономический потенциал G(p, q, /х, v, Z,...).

3.Вычислить дифференциальные уравнения модели и осуществить процедуру ее идентификации, которая состоит из операций:

3.1.Выбрать произвольным образом стартовый процесс {p(0)(t),q(0)(t)}. (Можно, например, в виде (2.8).)

3.2.На произвольном шаге s 1 итераций найти решение задачи 2.1, т.е. опираясь на (2.4), (2.5), вычислить оптимальные управления u(s)(t, ai,aN),v(s)(t,pi, ...,PN) и порождаемые ими оптимальные движения p(s)(t, ai,aN), q(s)(t, Pi,PN) в системах (2.9), (2.10).

3.3.Вычислить решение экстремальных задач (2.15) и построить по правилу (2.16) функции u(s) (t), v(s) (t) и (t), q(s) (t).

3.4.Функции u(s)(t), v(s)(t) иp(s)(t), q(s)(t) взять в качестве исходных и при {s = 1, 2,...} повторить вычисления пунктов 3.2, 3.3 до тех пор, пока при некотором s* не будет выполнено условие (2.21) остановки счета в итерационной процедуре.

3.5. Проверить правильность результата. Для этого результирующие управления m(s+) (t), v(s+) (t), или их средние значения ), Vkf ), следует подставить в исходную нелинейную систему (1.4) и убедиться в том, что равенства (1.5) выполняются с требуемой точностью.

Описанная процедура идентификации опирается на решение маршрутной задачи 2.2 с критерием оптимальности (2.2). Критерий оптимальности выбран в таком виде потому, что при наличии интегрального квадратичного функционала в (2.2) решение линейной маршрутной задачи 2.2 находится в явном аналитическом виде (2.4), (2.5) и искомые функции u(t) и v(t) будут ограниченными. Возможны разнообразные по форме способы выбора критерия оптимальности [11, 12, 27]. Для других критериев оптимальности решение маршрутной задачи 2.2 может не иметь явного аналитического представления, что существенно может увеличить объем вычислений, которые необходимо выполнить при осуществлении процедуры идентификации. Разным критериям оптимальности соответствуют различные модели (2.6), адекватные одним и тем же статистическим данным. Очевидно, что право на существование имеют лишь те модели, в которых не происходит неоправданно высокий (низкий) рост (спад) производства внутри каждого из промежутков [k - 1, k], [k = 1, 2,N}. Вообще говоря, задачу 2.2 надлежит решать при наличии ограничений на управления, оценивающих скорость роста. В экономических задачах такие ограничения на рост производства могут быть указаны экспертным путем, на основании объема основного капитала и особенностей используемых технологий. В приводимом ниже примере не потребовалось вводить ограничения на искомые функции u(t) и v(t), поэтому постановка задачи идентификации сформулирована в наиболее простом виде.

Подчеркнем в заключение, что по построению правая часть системы (1.4) не удовлетворяет глобальному условию Липшица, поэтому используемая итерационная процедура может расходиться, несмотря на регуляризирующую роль параметров точности. Причины расходимости могут быть различными и их установление составляет трудную самостоятельную задачу. Главная причина возможной расходимости - существенно нелинейная структура системы (1.4), что может приводить к возникновению хаотических явлений [35]. В случае расходимости предлагаемой процедуры идентификации надлежит пытаться определить нужные величины вручную.

3 ПРИМЕР

Рассмотрим пример, иллюстрирующий процедуру верификации модели (1.4) по данным [25] о работе промышленности Уральского экономического региона за 1970 - 1984 гг., которые приведены в табл.1 приложения в масштабе 10000 руб. = 1.

В данном разделе обсуждаются результаты вычислительных экспериментов по построению модели краткосрочного прогнозирования (1.4) при использовании современных систем компьютерной алгебры. Фильтрация исходных данных не проводилась, чтобы оценить особенности вычислений, которые вызываются сравнительно большими случайными выбросами в исходных данных.

Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http: zhurnal.ape.relam.ru/articles/2002/005.pdf71

3.1 Построение потенциала

Найдем потенциальную функцию G(p, q). Данных табл.1 достаточно чтобы вести вычисления при m = 4. Расчеты проводились при различных значениях m. В результате было выяснено, что при m = 0 и m = 1 отображение исходных данных производится с большой, неприемлемой ошибкой и такие ситуации не следует рассматривать.

Будем сначала изучать функцию G(p, q) при m =2, т.е. искать ее в виде

Gi = pq(a(1) + d1 p + a21)q + a31)p2 + a41)pq + aq2).(3.1)

Выполнив необходимые вычисления, найдем неопределенные коэффициенты

a(1) = 0.020074449947086486496930230929, ai11 = - 0.000290735517824865121394649335, a21) = - 0.000302295098206252339298228850,

= 0.000090889912500902805074523300, = - 0.000292250870771659261297185093, a11 = 0.000243794000475553049646151165.

Результаты вычислений прибыли h по потенциалу G1 (p, q) приведены в табл. 2 приложения и показывают, что выбор числа m = 2 обеспечивает приемлемую точность вычисления прибыли и, следовательно, потенциала. Чтобы получить правильный результат, вычисления с плавающей запятой выполнялись с 30-разрядными числами.

Вычислим еще потенциальную функцию G(p, q) при m = 3 и m = 4, соответственно, в виде

G2 = pq(a(2) + a12)p + a22)q + aj2)p2 + a2)pq+

(2) 2 (2) 3 (2) 2(2) 2 (2) 3(3.2)

a5 q + a6 p + a} p q + a8 pq + a9 q .

G3 = pq(a(3) + a13)p + a23)q + a33)p2 + a43)pq+

afq2 + a63)p3 + aVq + a83)pq2 + a93)q3+(3.3)

(3) 4 , (3) 3 , (3) 2 2 , (3) 3 , (3) 4\

Выполнив необходимые вычисления, найдем неопределенные коэффициенты

a(2)=0.026206257918434756097425709210,

a(12)=- 0.001724366540883260780836186601,

a(22)=0.001594710562965027242918489777,

a(32)=0.000088756336894365408876210168,

a(42)=- 0.000212184641692971481710025394,

a52)=0.000129267829224593776567580336,

a62)=0.000008060317133365366553866515,

a72)=- 0.000039926982262164356739167175,

a82)=0.000064985181356072496809300225,

a92)=- 0.000034829627377417760721179883,

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10]