Строительные исследования

Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" http: zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf66

Оптимальное управление u0(t) является кусочно-непрерывной функцией и опреде-

ляется равенствами

u0(t) = 1P(tt е [Ts 1,Ts], {s = 1,...,N}(2.5)

Можно проверить [6], что, если все параметры точности aj, {j = 1,...,N} устремить к нулю, то в пределе получится оптимальное управление, которое порождает движение системы (2.1), проходящее в заданные моменты времени t = tj, {j = 1,...,N} через заданные точки x(j), {j = 1,...,N}. Следовательно, при достаточно малых значениях параметров точности aj, {j = 1,N} управление u0(t), (2.5) порождает движение системы (2.1), проходящее в заданные моменты времени t = tj, {j = 1,N} в любой сколь угодно малой окрестности заданных точек x(j), {j = 1,...,N}.

2.2 Нелинейная маршрутная задача

Рассмотрим нелинейную управляемую систему

Х = P (t,x)u,(2.6)

где x е Rn - вектор фазовых координат системы, u е Rm - вектор управляющих сил, P(t, x) е Rnm - заданная матрица непрерывная по t и удовлетворяющая глобальному условию Липшица по x е Rn.

Изучим маршрутную задачу 2.1 в случае системы (2.6). В такой ситуации для построения решения нелинейной краевой задачи принципа максимума необходимо использовать процедуры численных вычислений [15,47,44,44]. Будем опираться на метод последовательных приближений, предложенный в работе [2]. Для этого введем в рассмотрение следующую последовательность линейных управляемых систем

X(s) = P(t,x(s-1)(t))u = P(s)(t)u, (s = 1, 2,...).(2.7)

Последовательность систем (2.7) строится следующим образом. Выбираем произвольную функцию x(0)(t), удовлетворяющую при t = Tj, {j = 0,1,N} условиям x(0)(tj) = x(j), и в правой части уравнений (2.6) полагаем x = x(0)(t), т.е. рассматриваем линейную управляемую систему

x(1) = P (t,x(0)(t))u = P (1)(t)u.

Для этой системы решаем маршрутную задачу 2.1 и находим оптимальное управление u(1)(t) и порождаемое им оптимальное движение x(1)(t). Затем снова в правой части уравнений (2.6) полагаем x = x(1)(t) и для полученной системы решаем маршрутную задачу 2.1 и находим оптимальное управление u(2)(t) и оптимальное движение x(2)(t) и т.д. В результате получим последовательность линейных оптимальных процессов {x(s)(t), u(s)(t), (s = 1, 2,...)}. Аналогично тому, как это сделано в работе [2], можно показать, что последовательность функций {x(s)(t), u(s)(t), (s = 1, 2,...)} равномерно по t е [t0,t1] сходится при s - оо к некоторому управляемому процессу {x*(t), u*(t)} в исходной нелинейной системе (2.6), если только постоянная Липшица функции P(t, x) достаточно мала. Это означает, что управление u*(t) порождает в системе (2.6) движение x*(t), которое при t = Tj, {j = 0,1,N} удовлетворяет нужным нам условиям x*(tj) = x(j) в пределе при <х,- - 0, {j = 1,N}.

Отметим в заключение этого раздела, что предельное управление u*(t) не является оптимальным в смысле задачи 2.1 для системы (2.6). Это просто некоторое допустимое управление в нелинейной системе (2.6), которое порождает движение x*(t), проходящее в заданные моменты времени t = т?, {j = 1,N} в любой сколь угодно малой окрестности заданных точек x(j), {j = 1, ... , N} при подходящем выборе параметров точности aj, {j = 1, ... , N}. Этого свойства достаточно, чтобы использовать описанную выше итерационную процедуру для идентификации модели (1.4).

2.3 Процедура идентификации

В соответствии с вышеизложенным задачу об идентификации модели (1.4) сформулируем следующим образом.

Задача 2.2. Задано начальное условиеp(0) = p*(0), q(0) = q*(0). Требуется найти такие кусочно-постоянные функции u(t), v(t), t G [0, N], которые порождают решение {p(t),q(t)} уравнений (1.4) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяющее равенствам (1.5).

Выберем стартовый процесс x(0)(t) = {p(0)(t), q(0)(t)}, необходимый для составления последовательности систем вида (2.7). Воспользуемся тем, что, как правило, приращения экономических показателей за единицу времени (месяц, квартал, год) достаточно малы по сравнению с их номинальными значениями. Следовательно, в качестве первого приближения разумно взять ломаную линию, составленную из прямолинейных отрезков. Таким образом, будем полагать

p(0)(t) = p*(k - 1)(k - t) + p*(k)(t - (k - 1)),

q(0)(t) = q*(k - 1)(k - t) + q*(k)(t - (k - 1)),(2.8)

t G [k - 1,k], {k = 1,...,N}.

При любом значении s 1 итерационная система (2.7), составленная для уравнений (1.4), распадается на две независимые подсистемы первого порядка:

= u(t) 3G(P(-i)(t),q(-i) (t),v (t),Z (t),...) = P()(t)u(t). (2.9)

= -v(t) dG(P(-i) Myi" (tU(t),...) = Q(,)(t)„(t),(2.10)

{s = 1,2,...}

Для каждой из этих подсистем будем рассматривать маршрутную задачу 2.1, соответственно, при условии минимума функционалов:

Ii[u]= / 1 u2(t) dt + У - (p(k) - p*(k))2,(2.11)

ЗД= / Xv2(t) dt + y -(g(k) - q*(k))2.(2.12)

Jtofc=i Pk

Таким образом, мы видим, что структура исходной системы (1.4) такова, что при использовании предлагаемой итерационной процедуры аппроксимации задачи идентификации на каждом шаге автоматически происходит ее декомпозиция на две более простых задачи. Это важно с вычислительной точки зрения, поскольку наличие декомпозиции позволяет распараллеливать процесс счета на две независимые друг от друга цепочки, причем объем вычислений в каждой в два раза меньше, чем в общей исходной процедуре. Отметим еще, что в любом развивающемся процессе скалярные функции P(s)(t),Q(s)(t) при любом s 1 не равны тождественно нулю на заданном отрезке [0, N]. Следовательно, при любом s 1 выполнено условие 2.1, обеспечивающее разрешимость маршрутных задач для систем (2.9), (2.10) при условии минимума функционалов (2.11), (2.12), соответственно.

Опишем теперь процедуру вычисления параметров точности [aks), p(jks, [k = 1,...,N}, [s = 1, 2,...}} на произвольном s-ом шаге итераций. Для этого, опираясь на (2.4), (2.5), вычислим оптимальные управления u(s)(t,ai, ...,aN),v(s)(t, /1, /N) и порождаемые ими оптимальные движения p(s)(t, ад,aN), q(s)(t, в\, PN) в системах (2.9), (2.10) на шаге с номером s. Квадратичная ошибка решения маршрутной задачи на этом шаге зависит от параметров точности и определяется при [s = 1, 2, ... } равенствами:

j[8)(a1,...,aN ) = Y.(P(S) (k,«i,...,«N) - p*(k))2,(2.13)

k=i N

j2s)(Pi,...,Pn)) = £>(e)(k,0i,...,0N) - q*(k))2.(2.14)

k=i

Искомые значения параметров [aks), /3fcS), [k = 1,...,N}, [s = 1, 2,...}} являются решением следующих экстремальных задач

min[ j1s)(ai,«n) ад 0,«n 0}, a(2 15)

min{j2s)(/3i,...,/3N) Pi > 0,...,Pn > 0}.

Решения задач (2.15) окончательно определяют искомые оптимальные управления u(s) (t), v(s) (t) и оптимальные движения p(s) (t), q(s) (t) на шаге s, т.е.

u(s)(t) = u(t,ais),...,a(s)),p(s)(t)= p(s)(t,ais),...,a(s)),(216)

v(s)(t) = u(t,P(s),...,pNs) ),q(s)(t)= p(s)(t,P(s),...,pNs)).

Отметим, что большая точность вычислений достигается при малых значениях параметров a, P, поэтому в соотношениях (2.13) - (2.16) можно ограничиваться членами первого порядка относительно этих параметров. Для этого при любом значении s достаточно вычислять обратную матрицу системы (2.4) с точностью до членов первого порядка относительно а, /.

Введем критерий остановки счета в итерационной процедуре. Для этого зафиксируем s и введем в рассмотрение величины

pks) = Г P (s)(t) dt, [k =1,...,N},(2.17)

Jk-i

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10]