Строительные исследования
страница - 3
Дифференциальные уравнения (1.12) позволяют прогнозировать объем продукции, которая может быть реализована фирмой в будущем и необходимый для ее производства объем затрат. Такие расчеты могут быть использованы для планирования производственной и организационной деятельности фирмы, а также оценки последствий для фирмы управляющих решений, принятых локальными или федеральными правительственными органами.
1.6 Вычисление долгосрочного прогноза
Опираясь на современную математическую теорию оптимальных управляемых процессов и модели (1.9), (1.10) можно вычислять гарантированные прогнозы последствий принятых управленческих решений или готовить различные сценарии будущего развития событий для лица принимающего решения, используя эффективные численные методы построения оптимальных стратегий игроков, развитые в теории позиционных дифференциальных игр [28, 29, 46].
Отметим, что предлагаемый нами подход к моделированию макроэкономических процессов может быть использован и в более сложных ситуациях. Используя принцип максимизации в экономическом анализе и методы теории позиционных дифференциальных игр можно строить непрерывные и дискретные математические модели для анализа различных экономических явлений, с учетом иерархических, коалиционных, кооперативных, антагонистических, и т.д. взаимоотношений между участниками некоторого
рынка [20, 21, 22, 39].
Рассмотрим возможные постановки математических задач о вычислении прогноза развития макроэкономического процесса на некотором будущем промежутке [N, N1], когда не ожидаются существенные изменения в технологиях и во всей экономике региона в целом.
Простейший путь - выработать сценарии изменения функций u(t),v(t),/(t), v(t), Z(t) на отрезке [N, N1], с помощью эконометрических методов, использующих вычисления, проведенные на отрезке [0, N], и найти порождаемое ими решение системы дифференциальных уравнений (1.9).
Более трудный путь - выработать сценарии изменения функций /(t), v(t), Z (t) и дать (или выбрать) оценки[а2, /У на возможные значения функций u(t), v(t) в тече-
ние отрезка [N, N1], соответственно, и ввести в рассмотрение антагонистическую игру двух игроков с платой
I [u,v]= / G(p(t),q(t),/(t),v (t),Z (t))dt,(1.13)
которая равна прибыли на отрезке [N, N1].
Предположим, что первый игрок стремится максимизировать плату (1.13) выбором управляющего воздействия u еа второй игрок, напротив, стремится ее минимизировать выбором управляющего воздействия v е [а2, 2]. Любые функции u = U(t,p,q) е и v = V(t,p,q) е [а2, 2], t е [N, N1] называются позиционными стратегиями U, V первого и второго игроков, соответственно. Требуется найти оптимальные позиционные стратегии первого игрока U0 и второго игрока V0, разрешающие максиминную и минимаксную задачи [28, 29].
Наконец, опишем наиболее сложный вариант процедуры построения прогноза. Предположим, что выбраны или получены экспертным путем оценки на возможные значения всех управляющих параметров на отрезке [N, N1] и рассмотрим антагонистическую игру, в которой первый игрок стремится максимизировать плату (1.13) выбором управляющего воздействия u еа второй игрок, напротив, стремится ее мини-
мизировать выбором управляющего воздействия w = {v,p,v,Z}, где v е [а2,в2],р е [а3,вз], v е [a4,e4],Z е [а5,в5]. Требуется найти оптимальные позиционные стратегии первого игрока U0 и второго игрока W0, разрешающие максиминную и минимаксную задачи.
Оптимальные стратегии {U0, W0} (или {U0, V0}) определяют оптимальный гарантированный результат для производителя, т.е. I[U0, W0] I[U0, W] для любой реализации w(t) = {v(t), p(t), v(t), Z(t)}. Оптимальная стратегия W0 описывает самые неблагоприятные экономические условия для производителя.
Вычисление оптимальных стратегий {U0, W0} (или {U0, V0}) в нелинейных системах (1.9) - (1.12) является трудной проблемой, которая может быть решена эффективными численными методами [46] построения оптимальных стратегий игроков, развитые в теории позиционных дифференциальных игр [28, 29].
Возможность практической реализации алгоритма построения предлагаемых моделей, целесообразность их, а также адекватность изучаемым макроэкономическим процессам проверены в результате обработки статистических данных о работе промышленности Уральского экономического региона за 1970 - 1984 гг.
Используя принцип максимизации в экономическом анализе и методы теории позиционных дифференциальных игр можно строить непрерывные и дискретные математические модели для анализа различных экономических явлений, с учетом иерархических, коалиционных, кооперативных, антагонистических, и т.д. взаимоотношений между участниками некоторого рынка. Разработанные нами алгоритмы идентификации и верификации моделей типа (1.9) - (1.12) эффективно реализуются на ПЭВМ и позволяют использовать методы компьютерной алгебры в сочетании с процедурами численных вычислений.
2 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
В этом разделе описывается процедура вычисления функций u(t) и v(t), завершающая построение моделей (1.4), (1.6) или (1.9), (1.10), (1.12). Для определенности будем вести рассуждения для модели (1.4), поскольку во всех остальных случаях надлежит проводить аналогичные построения. Как было показано выше, ограниченные функции u(t) и v(t) следует определять по имеющимися статистическим данным так, чтобы при {t = 1,.., N} решение {p(t), q(t)} уравнений (1.4) приближенно, с заданной точностью, удовлетворяло равенствам (1.5). Это задача апостериорного оценивания неизвестных сил (помех или параметров) в динамических системах по результатам измерения фазовых координат в заданные дискретные моменты времени. Такие проблемы называют обратными задачами динамики, которые составляют активно развивающуюся область современной математики, возникновение которой обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и содержательной интерпретации результатов наблюдений. Различным направлениям теории обратных задач динамики посвящена обширная литература, на-
пример, [10,17,26,30,38].
В настоящей работе для решения обратной задачи в случае системы (1.4) мы будем опираться на свойства решений маршрутной задачи оптимального управления [8,10,11,12]. Ниже в этом разделе сначала приводятся необходимые факты из теории оптимального управления, а затем строится алгоритм кусочно-постоянной аппроксимации функций u(t) и v(t).
2.1 Линейная маршрутная задача
Рассмотрим линейную управляемую систему
x = P (t)u,(2.1)
где x G Rn - вектор фазовых координат системы, u G Rm - вектор управляющих сил, P(t) g Rnm - заданная непрерывная матрица.
Пусть заданы последовательность моментов времени t0 < т\ < ... < tn = ti и последовательность точек x(j), {j = 0,1,N}.
Задача 2.1. Задано начальное условие x(t0) = x(0). Требуется найти оптимальное управление u0 (t), минимизирующее на движениях системы (2.1) функционал
I [u]= u(t)u(t) dt + V - (x(tj ) - x(j)),(x(T,) - x(j)).(2.2)
Здесь и в дальнейшем штрих означает транспонирование, aj - параметры точности. Будем предполагать, что выполнено следующее условие.
Условие 2.1. При всех значениях t е [t0, ti] строки матрицы P(t) линейно независимы.
Следовательно, определенно положительны матрицы
Dj = [TJ P (t)P(t) dt, {j = 1,...,N}(2.3)
Проведя необходимые вычисления и преобразования в соответствии с принципом максимума [11,12] можно показать, что для определения решения задачи 2.1 надлежитнайти решение {(i),(2),... ,ф(м)} системы векторных линейных неоднородных уравнений
(Di + aiE+ Di(2) + DiV>(3) + • • • + DiV>(w) = 2(x(i) - x(0)),
Di(i) + (D2 + a2E)(2) + D2(3) + • • • + D2(N) = 2(x(2) - x(0)), Di(i) + D2(2) + (D3 + азЕ)(3) + • • • + D3(N) = 2(x(3) - x(0)),
..................................(2.4)
Di(i) + D2(2) + D3(3) + • • • + (Dn + aNE)(N) = 2(x(N) - x(0)).
Здесь E G Rnn - единичная матрица и G Rn, {j = 1,...,N} - вспомогательные величины, определяющие сопряженные переменные в принципе максимума. Можно проверить, что при выполнении условия 2.1 система (2.4) имеет единственное решение.
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10]