Строительные исследования
страница - 8
v = сг гг + a v~
(5.3)
где а+, а~~ е [0,1], а+ + = 1.
В [5] приведены формулы, согласно которым можно вычислить коэффициенты а+,а, определяющие вектор v
(q,v~
о.
a s =
(q,v~ - v+У
a =
(q,v
(q,v+ - V-)
(5.4)
Пусть участок границы AB пройден за время Tab Поскольку движение прямолинейно и равномерно с постоянной скоростью v°, то это время вычисляется по формуле
\АВ\
Tab = , ш(5.5)
\v \
Естественно определить, что время, в течение которого хотя бы один отдел использовал поведение, не являющееся нормальным, определяется по формуле
\АВ\
(5.6)
где число а берется из формулы (5.3), определяющей вектор v°.
Наконец, рассмотрим случай, когда граница между областями (, и (, является гладкой кривой и задается уравнением х = s(p) (см. рис. 5.2).
Рис. 5.2. Скользящий режим на криволинейном участке границы
Определим время Т°§Т использования типов поведения, не являющихся нормальными, при движении по участку АН. Величины а+,а>~~ и вектор г" при движении по кривой будут зависеть от переменной р. Рассмотрим элементарный участок кривой х = s(p), ограниченный точками (pi,s(pi)) и (pi+i, s(pi+i)),
что на ней реализуется скользящий режим. Обозначим через q вектор нормали к прямой L: q = (т, п).
Воспользуемся следующей формулой доопределения вектора скорости v° при скользящем режиме движения:
где разность dp = pi+\ pi является достаточно малой. Тогда этот элемент границы можно считать прямолинейным и промежуток времени dT, за который траектория движения пройдет его, вычислять по формуле
,Т=У1 + №))2Ф
\v°(Pi)\
Тогда время, за которое траектория пройдет дугу АВ, можно вычислить по формуле
Определим теперь время использования поведения, не являющегося нормальным.
Доля времени из интервала dT, в течение которого используется нормальное поведение, задается функцией а+(р), а доля времени, в течение которого используется поведение, не являющееся нормальным - функцией а(р). Эти функции задаются следующими формулами:
а (Р) = Т7~\-=-4Л а W = ТТ~\-+-1л >5-8)
(q(p), v - v+)(q(p), v+ - v )
где вектор q{p) = (-s(p),l).
Время использования поведения, не являющегося нормальным, вычисляется по формуле
\v°(pi)\
Суммируя величины dlпо всем элементам границы на участке АВ и переходя к пределу при dp ->• 0, получим формулу для вычисления времени использования типов поведения, не являющихся нормальными:
/•;;:" = / V(p)ffi-fr(5-9)
РА
\v°(p)\
Очевидно, формула (5.9) является обобщением формул (5.2) и (5.6). В дальнейшем будет часто встречаться ситуация, когда векторы v+ = (u,-v), гГ = (и, v), где и, v - положительные константы. В этом случае из (5.9) вытекают следующие формулы для определения времени движения по дуге АВ, в течение которого использовалось управление v+ и %Г.
тх„ = \ (рв-рл - Хв~Хл)(ело)
T4-B = i(! + i),(5.11)
6 Задача синтеза оптимального управления, минимизирующего время использования типов поведения, не являющихся нормальными
Пусть отдел менеджмента (производства) выбрал свое управление, то есть определил кусочно постоянную функцию тм(р, х) со значениями во множестве Тм = {0,1, 2, 3,4} (тр(р, х) со значениями во множестве Тр = {0,1, 2}, соответственно) и функции тм(р,х), тр(р,х) удовлетворяют следующему условию: траектория движения системы (5.1), начавшаяся в момент времени to = 0 в произвольной точке Мооо); достигает в момент времени t\ = ti(p0, х0, тм(•, •); тр(-, )) некоторой точки Mi(pi,xi) е P(c,tt,w), являющейся устойчивой стационарной точкой системы (3.7).
Введем функционал ТаЬпг{р$, х0, тм(•, •)> тр(-, •)), значение которого равно суммарному времени на отрезке [to,ti], в течение которого отдел менеджмента или отдел производства (по крайней мере один из них) использовал поведение, не являющееся нормальным:
Ta(pQ,Xo,TM(;-),rp(;-))=TSlh(6.1)
Определение 6.1 Управления r,f (•, •), Тр(-, •) будем называть оптимальными, если для, произвольной точки (pq,xq) первого квадранта, плоскости (р,х) выполнено условие
Та(р0,Хо,т*м(;-),г*р(;-)) = min ТаЬ(р0, х0, тм(; -),тр(-, )) (6.2)
тм(-,-),тР(-,-)
Траекторию движения, порожденную оптимальными управлениями, также будем называть оптимальной для точки (р0,х0).
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 6.1 Построить управления, r,f (•,•); тр(-, )> оптимальные в смысле определения 6.1.
Решением этой задачи является разбиение первого квадранта плоскости (р, х) на некоторое число областей, в каждой из которых используются те или иные типы поведения.
Рассмотрим случай, когда точка А\ расположена левее точки Л н не является паретовской, то есть выполнены условия Pl < pN и w< Щ. Кроме того, будем считать, что выполнено дополнительное условие (3.14), то есть вектор q = (и. v) имеет меньший угол наклона, чем прямая /. или параллелен этой прямой.
Основываясь на результатах, доказанных в [4], можно сформулировать следующую теорему о структуре оптимального управления.
Теорема 6.1 Пусть выполнено условие (3.14) и точка, А\ не является оптимальной по Парето относительно критериев (1.4)-(1-6). Тогда оптимальное управление в смысле определения 6.1 имеет следующую структуру:
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]