Строительные исследования

Рис. 3.5. Спиральная траектория вокруг точки А\

Пусть точка М0 является начальной точкой траектории движения системы (3.7) и лежит в секторе Si (см. рис. 3.5).

Согласно леммам 3.1 и 3.2, траектория движения, выпущенная из точки Мо при пересечении границ секторов будет либо закручиваться в направлении часовой стрелки относительно точки А\ (будем называть такое движение спиральным), либо двигаться к этой точке по границам (такое движение будем называть скользящим). Также возможно, что эти два вида движения будут чередоваться. Рассмотрим сначала спиральное движение и покажем, что его траектория после совершения очередного витка окажется ближе к точке А\, чем была на предыдущем витке.

Приходящийся на сектор Si участок траектории, выходящей из точки М0, будет прямолинейным с направляющим вектором г, = ( . - v).

Проведем через точку Мо прямую, параллельную вектору v\ до пересечения с линиями р = р\ и х = х\, где {j>\,x\) - координаты точки А\. Обозначим точку пересечения с прямой р = р\ через Л /,. а точку пересечения с прямой х = Х\ через М[. Рассмотрим прямоугольный треугольник . 11 Л/, Л/(. Поскольку функция х = й(р) является возрастающей при р р, то кривая Li находится

в первом квадранте, образованном прямыми р = р\ и х = х\. Следовательно, она пересекает гипотенузу треугольника . 11 Л /, Л /( в некоторой точке, которую обозначим Л/.

При спиральном движении из точки Л/ траектория переходит в сектор S4, меняя при этом свое направление. В этом секторе движение происходит по прямым линиям с направляющим вектором V4 = (-u,-v). Проведем через точку М\ прямую, параллельную этому вектору и обозначим через М{ точку ее пересечения с горизонтальной прямой х = Xi, а через Л/, - точку пересечения с вертикальной прямой р = р\ (см. рис. 3.5). Далее, обозначим через М4 точку пересечения этой линии с кривой L4, которая в силу свойств функции х = р(р) располагается в четвертом квадранте.

Рассмотрим прямоугольный треугольник Л\ М" М\. Так как вектора v\ и V4 симметричны относительно вертикальной прямой, этот треугольник подобен треугольнику . 11 Л /, Л /[. Из рисунка 3.5 видно, что длины их вертикальных катетов связаны соотношением

АгМ0 = AlM2 + 2hu(3.9)

где h\ есть разность ординат точек М\ и Л/. причем h\ > 0.

Далее, продолжая движение из точки М4 в сектор S3 в направлении вектора получим прямоугольный треугольник . 1 Л/.Л/f. подобный треугольнику . 1 Л/(Л/. Обозначив через h ( разность ординат точек М4 М, получим соотношение между длинами вертикальных катетов треугольников . 11 Л /.. Л / f и АХМЧМ.

А] МА = A\Ml + 2/i4(3.10)

В этой формуле Л-4, как и hi в (3.9), является положительной величиной.

Проводя аналогичные построения, получим треугольник . 1 M.jM!. лежащий во втором квадранте относительно точки Ai. Длина его вертикального катета связана с длиной соответствующего катета подобного ему треугольника . li Л/.Л/f соотношением

AiMl = А\М2 + 2/i3,(3.11)

где /;;! есть разность ординат точек Л / . и Л /;!. являющаяся положительной величиной.

Наконец, построим прямоугольный треугольник .1 Л/. \[. подобный всем ранее рассмотренным, в том числе и самому первому треугольнику . 11 Л /, Л /1. Длина вертикального катета треугольника . 11 Л/. \- связан с длиной соответствующего катета треугольника . 11 Л /., ЛI, равенством

. 1, Л , = . 1, Л / + 2h2,(3.12)

где h2 есть разность ординат точек Л/., и М2, h2 > 0. На рис. 3.5 через К\ обозначена точка пересечения кривой L\ и гипотенузы треугольника . 1 Л/. \[.

Учитывая соотношения (3.9) - (3.12), получим формулу, связывающую длины вертикальных катетов треугольников . 1 Л/. \[ и . 11 Л /, Л / (:

.1,.! » = ,1,Л/.Г + 2(h + h2 + h3 + h4)(3.13)

Из положительности величин />,-. / = 1.... I следует, что вертикальный катет треугольника . 1 Л/. \[ имеет меньшую длину, чем вертикальный катет треугольника . 11 Л /, Л /1. то есть треугольник . 1 М" К[ принадлежит треугольнику . 11 Л /, Л /1. Из этого факта можно сделать вывод, что кривая Li пересекает гипотенузу меньшего треугольника раньше, чем гипотенузу большего треугольника, то есть абсцисса точки К\ строго меньше абсциссы точки М\: ркг < Рмг В силу возрастания функции х = й(р) при р pn справедливо аналогичное неравенство и для ординат рассматриваемых точек: .rKl < хцц- Из этого следует, что от точки Ai расстояние до точки К\ меньше, чем расстояние до точки Л/. что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда на некоторых участках кривых L{,i = 1,.., 4 реализуется скользящий режим. Поскольку он направлен в сторону точки Ai, то все треугольники, рассмотренные выше, будут иметь меньшие размеры. Это означает, что равенство (3.13) примет вид

.Ii Л/, > Л,.! / + 2{hi + h2 + h3 + h4)

и все выводы относительно точек К\ и Л/ сохранятся.

Если же на какой-нибудь кривой, например L1; скользящий режим реализуется на некоторой дуге, содержащей дугу .1 Л/. то траектория движения придет по 1.\ в точку . 1 и все треугольники, начиная с треугольника Л\\1" выродятся в точку Ai. Это означает, что и при наличии скользящего движения точка Ai является притягивающей в некоторой области. Таким образом, утверждение 3.1 доказано.

Вид областей притяжения точек . 1 и А2 зависит от соотношения между величинами и и v, фигурирующими в формулах (3.2),(3.6). Приведем результат для случая, когда выполняется неравенство

- -(3.14)

и 2r]к 1

Обозначим через щ прямую, проходящую через точку N параллельно вектору Vi, который определяет динамику системы (3.7) в секторе Si (см. рис. 3.6). В [4] доказано следующее утверждение.

Утверждение 3.2 При выполнении условия (3.14) область притяжения, точки Ai есть угол, образованный прямыми I и п\, содержащий точку Ai, а область притяжения точки А2 есть угол, образованный прямыми п\ и I, содержащий точку А2.

На рис. 3.6 показано разбиение первого квадранта плоскости (р,х) на сектора Si... Ss, в каждом из которых правая часть системы (3.7) является постоянной. Траектории движения системы изображены штриховыми линиями.

Опираясь на исследование различных случаев взаимного расположения кривых х = (1(р) и х = v{p), проведенное в [4], можно доказать следующее утверждение.

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]