Строительные исследования
страница - 4
x=~(p)
Рис. 3.2. Изменение цены отделом менеджмента.
Закон управления определяется формулой
и, (х > max{I(p), v(p)}) V
(х < min{7(p), й(р)}), и*(р,х) = -и, х е (min{7(p), v(p)}, max{7(p), v(p)}) V
(x = l{p) A x ждг), 0, (a; = v(p)) V (x = l{p) A x > x).
(3.6)
Таким образом, движение системы задается дифференциальными уравнениями
р = и*(р,х), х = v*(p,x).
(3.7)
Задача 3.1 Указать условия, при выполнении которых траектория, системы, (3.7) с произвольными начальными условиями p(to) = po,x(to) = xq достигает .множества, P(c,jf,w) за, конечное время при некотором, t\ to-
Рассмотрим сначала случай, когда выполнено условие (2.10), то есть обе точки А\ и А2 являются оптимальными по Парето и, кроме того, точка А\ расположена строго левее точки N, то есть выполнено условие
1-
<
Г] ТТ
а
0 ТТГ] 2 +---{
1 г] ао
(3.8)
Утверждение 3.1 Пусть выполнено условие (3.8). Тогда существует непустая область, содержащая точку А\, такая что точка А\ является асимптотически устойчивой для всех движений системы (3.7), начинающихся в этой области. Кроме того, существует непустая область, содержащая точку А2, такая, что точка, А2 является, асимптотически устойчивой для всех движений системы (3.7), начинающихся в этой области.
Рис. 3.3. Скользящий режим и переход через линию переключения.
L является общей границей областей (, и G+, и на этой линии правая часть системы (3.7) является разрывной (см. рис. 3.3). Обозначим через гГ вектор, задающий направление движения системы по траекториям в области (, . Поскольку правая часть рассматриваемой системы является постоянной в этой области, траектории движения прямолинейны. Аналогично, обозначим через v+ вектор, задающий направление движения системы по траекториям в области 6 .
Согласно [5], траектории движения системы, приходящие на линию L из областей (, и (, будут оставаться на ней при условии, что проекция вектора %Г на нормаль к линии L направлена в сторону области G+, а проекция вектора v+ на нормаль к линии L направлена в сторону области G . Пусть в точке Н (г I. выполнены эти условия. Тогда в этой точке вектор v° скорости движения по линии L определяется так. Обозначим через /• множество всех векторов, являющихся выпуклыми комбинациями %Г н г :
F = {v е В2\v = av+ + (1 - a)v~, а е [0,1]}
Вектор г" определяется как вектор множества /•. принадлежащий касательной к к линии L в точке В (см. рис. 3.3). Такое движение по линии разрыва называется скользящим, режимом, (см., напр., [5]).
Области, о которых идет речь в утверждении 3.1, будем называть областями притяжения точек А\ и А2 соответственно. Их описание будет дано ниже после введения дополнительных определений и доказательства вспомогательных результатов.
Как следует из формул (3.2) и (3.6), законы управления отделов производства и менеджмента, являются разрывными на линиях х = (/>) ъ х = />(/>). соответственно. Следовательно, правая часть системы (3.7) является разрывной на этих линиях, поэтому необходимо каким-либо образом доопределить движение системы на линиях х = й(р) и х = /л(р).
В соответствии с [5] это можно сделать следующим образом. Пусть кривая
Рис. 3.4. Скользящий режим и переход через границу секторов
точки Ai, а через L3 - часть этой кривой, расположенную слева от точки А] . Аналогично, обозначим через L2 и L4 части кривой х = р(р), расположенные слева и, соответственно, справа от точки А\. Далее, рассмотрим криволинейные сектора >. S->. >;! и >(. где сектор S-, расположен между линиями Li и Lj+i, / = 1, ..,4, L5 = Li.
В каждом секторе Si через Vi обозначим вектор, определяющий динамику изменения переменных ри х в силу системы (3.7), то есть vi = (и*(р, х), v*(p, х)). В [4] доказаны следующие две леммы.
Лемма 3.1 Скользящий режим движения системы (3.7) на тех участках кривых Li, L2, L3, L4, где он реализуется, направлен в сторону точки Аг.
Лемма 3.2 Пусть при достижении кривой Li траектория движения переходит из одного сектора в другой. Тогда этот переход осуществляется в направлении движения часовой стрелки относительно точки А\.
Переходим теперь к доказательству первой части утверждения 3.1 (доказательство второй части проводится аналогично).
Если же вектора и на линии L направлены в одну сторону (например, в сторону области (, . как в точке А, или в сторону области G+, как в точке С), то траектории, приходящие из одной области на границу, будут переходить в другую область, изменив при этом направление движения (см, рис. 3.3).
В дальнейшем воспользуемся обозначениями, принятыми в [5]. Рассмотрим некоторую область, содержащую точку А\ и не включающую точку N (см. рис. 3.4). Обозначим через L\ часть кривой х = v{p), расположенную правее
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]