Строительные исследования

назад Оглавление вперед

страница - 3

задается уравнениями

pi(c) = (i + y/-i) (Ь¥)

(2.9)

хг(с) = (рг(с);с),

/ а <- r. I а \/ /„7, ь \/ о„г.

Кроме того, в [3] показано, что точка G0(

го 2(ba+riw)

а V aw

1) есть единствен-

ная общая точка кривых 71 и 7Г, что позволяет рассматривать их как единую кривую 7, изображенную на рис. 2.5.

Как видно по значению абсциссы точки Go, она лежит на прямой р = ф.

Обозначим область, ограниченную кривыми х = (1(р) и х = й(р) через D. Замыкание множества точек, расположенных в области /) слева от прямой р = ф и над кривой 7, обозначим через /)/. Наконец, замыкание множества точек, расположенных в области D справа от прямой р = ф и под кривой 7, обозначим через DR (см. рис. 2.5).

В [3] доказано следующее утверждение.

Утверждение 2.2 При выполнении условия w2 w Wi оптимальными по Парето точками являются точки областей DL,DR и только они.

Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что и доказательство утверждения 2.1.

Следует отметить, что в случае, когда прямая р = ф проходит через точку Ai (то есть выполнено условие w = Wi), множество Dp совпадает с этой точкой, а множество /)/> является пустым. Тогда точка . 11 является единственной нарекли-кой точкой в первом квадранте плоскости (р, х). Аналогичная ситуация наблюдается в случае выполнения условия w = w2, когда точка А2 является единственной точкой множества P(c,-k,w).

Отметим важное свойство точек Ai и А2, которое будет использовано ниже.

x=~(p) x=~(p)

Рис. 2.5. Множества /)/ и /)/,>

Утверждение 2.3 При выполнении условия (2.4) по крайней мере одна из точек Ai,A2 является, оптимальной по Парето относительно критериев (1-4)-(1.6). Если, кроме того, выполнено условие

Wi + w2

то обе точки А\ и А2 являются оптимальными по Парето.

3 Задача о приведении управляемой системы на паретовское множество

Напомним, что в рассматриваемой модели только два из трех отделов фирмы могут непосредственно влиять на изменение ее состояния.

Отдел производства может изменять величину слэка х, воздействуя, согласно (1.1), на стоимость производства единицы продукции, а также на прибыль, вычисляемую по формуле (1.3).

Отдел менеджмента может изменять значение р цены единицы продукции, влияя на стоимость производства единицы продукции (1.1), на объем продаж (1.2) и на величину прибыли (1.3).

Отдел продаж не имеет никаких способов воздействия на показатели (1.1)-(1.3).

В [8] предложены следующие способы управления переменными р и х: отдел производства изменяет значение слэка х таким образом, чтобы значение текущей стоимости производства с(р, х) приближалось к ее желаемому значению с. Отдел менеджмента при изменении величины переменной р учитывает не только свои интересы, но и интересы отдела продаж. Определенная таким образом динамика изменения переменных (р, х) имеет следующую особенность: из некоторых начальных положений система приходит в положения устойчивого равновесия, не являющиеся оптимальными по Парето относительно критериев

Ic{p,x),Iv{p,x),Iw{p).

Рассмотрим динамику системы. Сначала определим способ изменения слэка х отделом производства. Учитывая, что критерий 1с(р, х) достигает глобального минимума на кривой х = р(р), изменение переменной х направлено на приближение к этой кривой (см. рис. 3.1).

Примем следующую простейшую модель изменения величины слэка х. Будем считать, что за промежуток времени At слэк может не измениться или может измениться на величину ах, которая пропорциональна длине этого промежутка: ах = v*(p,x)At. Полагаем, что функция v*(p, х) является кусочно постоянной в первом квадранте плоскости (р, х) и удовлетворяющей ограничению \v*(p, х)\ v, где v > 0 - некоторая константа. Это соответствует основным положениям поведенческой теории фирмы [6], согласно которым ни один отдел фирмы не может мгновенно изменить значение своей управляющей переменной на произвольную величину. Считается, что все переменные имеют некоторые ограничения на скорость изменения. Кроме того, будем полагать, что функция v*(p, х) тождественно равна нулю вне первого квадранта плоскости (р, х).

(2.10)

v *

Рис. 3.1. Изменение слэка отделом производства

Это условие гарантирует, что переменная х не будет принимать отрицательных значений.

При непрерывном изменении времени динамика переменной х описывается уравнением

х = v*(p, х),(3.1)

где

{V, х < -v, х > р,(р),(3.2)

О, х =

Для того, чтобы описать управление отдела менеджмента, рассмотрим линию I, которая является геометрическим местом максимальных точек графиков функций семейства Nn. Как доказано в [4], эта линия является прямой и задается уравнением

х = 1{р) = ~ 1(3-3)

Прямая (3.3) пересекает кривую х = й{р) в точке N(pn,xn), абсцисса которой находится по формуле

Pn =й(тг) = р/т + z~ 77(З-4)

Направление изменения цены р отделом менеджмента показано стрелками на рисунке 3.2.

Как и для отдела производства, будем считать, что динамика изменения переменной р описывается достаточно простым уравнением

р = и*(р, х)(3.5)

Полагаем, что функция и*(р, х) является кусочно постоянной в первом квадранте плоскости (р,х) и удовлетворяющей ограничению \и*(р,х)\ и*, где и* > О - некоторая константа. Кроме того, будем полагать, что вне первого квадранта эта функций тождественно равна нулю, тогда цена не будет принимать отрицательных значений.

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]