Строительные исследования

назад Оглавление вперед

страница - 2

Как будет показано ниже, структура множества точек, оптимальных по Парето, зависит от значений параметров с, тт и w, поэтому обозначим это множество через P(c,tt,w). Множество P(c,tt,w) будет построено для различных значений параметра w; при этом считается, что параметры с, тт фиксированы и удовлетворяют условию (2,4),

Обозначим через w\ параметр прямой семейства Ф№, проходящей через точку . 11. то есть w\ = api2. Аналогично, через ir2 обозначим значение параметра прямой семейства Ф„,. проходящей через точку А2, то есть w2 = ctp22. Согласно свойству 2,2, имеет место неравенство Wi > w2. Структура множества оптимальных по Парето точек зависит от расположения числа w относительно чисел wi ъ w2. Рассмотрим два случая: l)w > wi или w < w2, 2)w2 w wi.

1). Пусть выполнено условие w > wi или w <w2.

Обозначим через M точку пересечения прямой р = ф с кривой х = р(р), а через N - точку пересечения этой прямой с кривой х = й(р) (см, рис. 2,3).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2.1 Пусть выполнено условие w > Wi (или w < w2), а параметры тг,с удовлетворяют условию (2.4)- Тогда множество P(c,fr,w) есть замыкание криволинейного треугольника A] MN (соответственно, A2MN).

Доказательство проведем для случая w > Wi, для случая w < w2 оно проводится аналогично.

Покажем сначала, что для любой точки первого квадранта плоскости (р, х), не принадлежащей криволинейному треугольнику AiMN, найдется хотя бы одна точка из треугольника, доминирующая ее по Парето.

p=(wt)

x=p(p;Cn)

Рис. 2.3. Треугольник A\MN

Построим вертикальную прямую р = ip(pi), проходящую через точку А\ и кривую х = (/>: rv). проходящую через точку N. Эти линии вместе с кривыми х = й(р),х = /л(р) и прямой р = ф делят первый квадрант плоскости (р,х) на девять областей Si,...,S9 (см. рис. 2.3).

Любые точки Кг G Si и К9 G S9, отличные от точки Аъ доминируются по Парето точкой А\. Действительно, критерии /,. и I- достигают в точке А\ своего глобального минимума, а критерий /„. принимает в точке А\ значение не большее, чем в любой другой точке областей Si и Sg, так как точка А\ расположена ближе всего к прямой р = ф. Сравнивая, например, точку /\ с точкой . 1. видим, что по крайней мере два неравенства системы (2.6) выполняются как строгие, а третье, возможно, как равенство (например, для всех точек кривой х = й(р) значение критерия 1Ж то же самое, что и в точке А\).

Аналогично можно показать, что любая точка K?J G S3 доминируется по Парето точкой Л/, и любые точки К?> G S,Kq G Sq, Kj G Sj доминируются по Парето точкой N.

Далее, рассмотрим точку К2 G S2 и ее вертикальную проекцию на кривую

х = /л(р), точку К2. Поскольку точка К2 расположена ближе к кривой х = v(p)

и на кривой х = /л(р), значение критерия 1Ж в ней меньше, чем в точке К2, а

значение критерия 1С в ней равно нулю. Кроме того, критерий Iw принимает в

точках /\-. и /\., одинаковые значения. Следовательно, /\., >- /\.

Аналогично можно показать, что любая точка К4. G S4 (уК% G Sg) доминируется по Парето точкой К4 (точкой Ks, соответственно). Здесь точка К4 получена как проекция точки /\ на отрезок MN вдоль кривой семейства Мс, проходящей через точку К±.

Теперь покажем, что ни одна точка, принадлежащая криволинейному треугольнику AiMN, не доминируется по Парето относительно критериев /,.. I-. !„ какой-либо другой точкой.

Пусть К* - произвольная внутренняя точка криволинейного треугольника AiMN. В силу свойства 2.2, через нее проходит некоторые кривые х = (1(р; с*),х = v(p; 7Г*) и прямая р = <p(w*), принадлежащие семействам Мс, Nn и Фш. соответственно. Эти линии, изображенные на рисунке 2.4, делят криволинейный треугольник A\MN на три криволинейных треугольника 1\. i->. I]; н три криволинейных параллелограмма /. /. /. Предположим, точка К* доминируется по Парето некоторой точкой К и допустим, без ограничения общности, что 1С(К) < 1С(К*). Это означает, что точка К лежит в одной из областей Pi, Ть Р3. Однако, если она лежит в области Pi или I). ю г, силу ее расположения выше кривой х = й(р;7т*) будет выполнено неравенство 1Ж(К) > 1Ж(К*), а если она

лежит в области Р3, то, очевидно, выполнено неравенство IW(K) > IW(K*). В

обоих случаях получаем противоречие с тем, что К У К*.

Если точка К* расположена на границе криволинейного треугольника AiMN, ее оптимальность по Парето доказывается так же, как и для внутренней точки, с тем лишь отличием, что некоторые из областей I). Г->. Гл. /. /j. Iвыродятся.

Утверждение 2.1 доказано.

2). Пусть выполнено условие w2 w Wi.

p=(w*)

Рис. 2.4. Недоминируемость по Парето точек треугольника A\MN

Определим вспомогательную кривую 7, для чего введем следующее определение.

Определение 2.3 Точка (pi, xi) называется (с, тт, Iw)-эквивалентной точке (р2, х2) если выполняются следующие равенства:

Замечание 2.1 Очевидно, любая, точка, плоскости (р,х) является, (c,ir,Iw)-эквивалентной самой себе. Однако, будем, считать, что (с, тт, -эквивалентные точки различны; координаты, левой точки обозначим, через (pi,xi), координаты, правой - через (рг,хг). Отметим только, что существует единственная точка, (с, к, Iw)-эквивалентная самой себе, которая является предельной при сближении левых и правых точек, различных между собой.

В [3] показано, что множество всех левых (с, 7Г, /-эквивалентных точек есть кривая на плоскости (р,х), обозначаемая далее через 7/, которая параметрически задается уравнениями

с(ръх1)

7T{pi,Xi)

С(Р2,Х2), IW(P2,X2)

(2.7)

(2.8)

Аналогично, множество всех правых (с, 7Г, /-эквивалентных точек есть кривая на плоскости (р,х), обозначаемая далее через jr, которая параметрически

содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]