Строительные исследования
страница - 1
В разделе 2 приводится описание множества Р(с, тт, из) Парето-оптимальных точек при произвольных значениях параметров c,tt,w. Далее, в разделе 3 ставится задача приведения траектории системы на множество P(c,tt,w). Показывается, что в большинстве случаев эта задача не имеет решения, поэтому в разделе 4 класс управлений расширяется введением альтруистического и агрессивного поведения [2, 7], когда один из отделов стремится минимизировать (соответственно, максимизировать) показатель качества другого отдела. Ставится задача приведения системы на множество P(c,tt,w) с минимальным временем использования типов поведения, не являющихся нормальными. Решение задачи синтеза оптимального управления приведено в разделе 6.
2 Множество точек, оптимальных по Парето
Для построения множества точек, оптимальных по Парето относительно критериев (1.4)-(1.6), рассмотрим следующие три семейства функций.
Функции, составляющие первое семейство, получим, выражая из уравнения (1.1) переменную х:
с
х = и(р; с) = ---1.(2.1)
bp1 + г/
Здесь стоимость производства единицы продукции с считаем положительным параметром. Таким образом, имеем семейство функций
Мс = {х = р(р; с) с > 0}
Для определения второго семейства функций выразим переменную р из уравнения (1.2):
Р = ¥>И = (2-2)
На плоскости (р, х) этим функциям соответствуют вертикальные прямые р = const, причем w рассматривается как параметр, определяющий положение прямой.
Таким образом, получаем семейство функций
&w = {р = <p(w) w > 0}
Для определения третьего семейства функций разрешим уравнение (1.3) относительно переменной х:
х = и(р;тт) = т - 1(2.3)
bp1 + г] ab
Здесь прибыль фирмы тт рассматривается как положительный параметр. Определим третье семейство функций:
JVjj. = {х = и{р; тт) тт > 0}
Рис. 2.1. Графики функций семейств Мс,Фт, Nw.
Графики некоторых функций семейств Мс, Nw,4>w показаны на рис. 2.1.
Выделим в каждом семействе функции х = (/>. г), р = г~(ir}. х = и(р,-к). Напомним, что с, п, w обозначают желаемые уровни тех величин, которые представляют интерес для отделов производства, менеджмента и продаж, соответственно, поэтому на функциях х = fj,(p,c), р = <p(w), х = и(р,тт) критерии 1с(р, х), Iw(p), 1%{р-, х) достигают своих глобальных минимальных значений, равных нулю. В дальнейшем мы будем обозначать эти функции через х = (/). р = ф и х = й(р), соответственно.
Сформулируем некоторые свойства семейств функций Мс, Ф, и Nn, доказательства которых приведены в [3].
Свойство 2.1 Через любую внутреннюю точку первого квадранта плоскости (р, х) проходят графики единственной функции семейства Мс, единственной функции семейства Фу, и единственной функции семейства Nn.
Следующее свойство касается взаимного расположения графиков функций одного семейства, соответствующих разным значениям параметра.
Свойство 2.2 График функции х = ц(р; с2) расположен выше графика функции х = /j,(p;ci) при С\ < с2. Прямая р = 9?(гу2) расположена левее прямой р = (f(wi) при wi < W2- График функции х = v{p\ 7Ti) расположен выше графика
функции X = v{p\ 7Г2) При 7Ti < 7Г2-
Для исследования большое значение будет иметь взаимное расположение графиков функций х = fj,(p; с) Е Мс и х = v{p\ 7г) Е Nn.
Свойство 2.3 Рассмотрим, функции х = ц(р;с) и х = и{р;тг), с > 0,-к > 0. Тогда их графики либо касаются, в одной точке, либо пересекаются, в двух точках, либо график функции х = ц(р; с) расположен выше графика функции
X = v{p\ 71").
В том случае, если графики функций х = /л(р; с) и х = и(р; п) пересекаются в двух точках, обозначим левую точку пересечения через (pi,xi), а правую -
через (рг,хг). Тогда на промежутках [0,pi) и (рг,+оо) график функции х = р(р;с) расположен выше графика х = и(р;7т), а на промежутке (pi,pr) - ниже него. При доказательстве свойства 2.3 в [3] получены формулы, из которых, в частности, следует, что графики функций х = /л(р) и х = й(р) пересекаются в двух различных точках тогда и только тогда, когда выполнено условие
тгс < (2.4)
4v
При этом абсциссы точек пересечения (обозначим эти точки через А\ = (pi,xi) и А2 = {p2;%ci)) вычисляются по формуле
1 zp . /1 - 4
Pi,2 =--(2.5)
а
В дальнейшем будет рассматриваться только этот случай, изображенный на рис. 2.2.
Поскольку каждый из отделов фирмы стремится минимизировать свой показатель качества, естественным образом возникает задача нахождения точек, оптимальных по Парето (см., например, [1]) относительно критериев 1с,1ж,1т.
Определение 2.1 Точка Mi(pi, х\) доминируется по Парето точкой М2(р2, х2) р
(М2 У Mi), если выполнены неравенства
1с(Р2,х2) Ic(pi,Xi),
1ж(р2,х2) In(pi,xi),(2.6)
Td{P2) Td{Pi);
причем по крайней мере одно из этих неравенств выполняется как строгое.
Определение 2.2 Точка (р*,х*), принадлежащая, первому квадранту плоскости (р,х) и не доминируемая по Парето никакой другой точкой, называется оптимальной по Парето относительно критериев 1с(р,х), 1ж(р,х), Iw(p).
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9]