Строительные исследования
страница - 0
Метод следящих операторов в теории экситона Френкеля. Новая мера локализации волновых функций и ее точное вычисление для 0-состояния в одномерной
недиагонально- разупорядоченной цепочке.
Козлов Г.Г.
Всероссийский научный центр "Государственный оптический институт им
С.И.Вавилова", Санкт Петербург, Россия, 199034 тел.: (812) 428-45-66, факс: (812) 428-72-40, e-mail: gkozlov@snoopy.phys.spbu.ru
Предложен метод манипуляции диаграмным разложением функции Грина (ФГ) случайных блужданий экситона Френкеля на периодической решетке, позволяющий производить селекцию диаграмм, домножать диаграммы на величины, несущие информацию о числе узлов в диаграмме и т.п. Приведены примеры применения метода для решения простых задач, связанных с дефектными решетками. Введена новая мера локализации экситона Френкеля - число узлов, накрываемых его волновой функцией. Исследовано ((-состояние одномерной недиагонально- разупорядоченной цепочки, для которого задача расчета введенной меры локализации сведена к задаче об отыскании ФГ случайных блужданий, с модифицированным диаграмным разложением. С помощью предложенного метода манипуляции получено точное аналитическое выражение для среднего числа узлов, накрываемых О-состоянием.
I. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим определенную на узлах ri...r некоторой заданной решетки матрицу W с элементами:
Wrrr =w(r- r)(1)
причем функция w(r) предполагается известной. К подобным матрицам приводят многие физические задачи, из которых мы для определенности будем иметь ввиду задачу о случайном блуждание экситона Френкеля в системе двухуровневых атомов [1], расположенных в узлах ri...r. В этом случае w(r - r) описывает межатомное взаимодействие, способное переносить возбуждение с атома г на г. Ряд важных свойств матрицы (1) содержится в соответствующей ей функции Грина [1](ФГ), которую мы запишем в удобном для нас безразмерном виде:
G = (I - W)1(2)
Предполагая суммирование по повторяющимся индексам, для ФГ можно написать разложение:
Glm = (lw) = 5Ы + Щт + WlrWrm + WlrWrpWPm + -(3)
Если каждому матричному элементу Wrp сопоставить стрелку, направленную из узла г в узел р, то каждому произведению матричных элементов в суммах (3) сопоставляется траектория - диаграмма - соединяющая узлы / и т. Тогда формула (3) может быть переписана как:
Gim = у Сумма всех диаграмм, соединяющих узлы / и mj(4)
Похожая диаграммная техника применялась в [2]. Такое представление позволяет единым образом записать выражения для ФГ целого ряда родственных задач. Например, если удалить атомы из каких-либо узлов гг...гг, ФГ изменится следующим образом:
(Сумма всех диаграмм, соединяющих узлы I ш т\ (5) и непроходящих через узлы ri...rtJ
Пусть теперь мы имеем дело с системой атомов, каждый из которых может находиться узлах решетки с вероятностью С < 1 и мы интересуемся усредненной ФГ.
В этой функции каждая диаграмма Г) должна быть домножена на вероятность того, что все n(D) узлов решетки, по которым она проходит, заняты атомами. Эта вероятность равна CnD\ поэтому для усредненой ФГ можно написать: / Сумма всех диаграмм /), соединяющих узлы I ж тЛ
6)
причем каждая диаграмма домножается на CnD\ \где n(D) - число узлов в диаграммеJ
Наконец, если мы интересуемся {Gm)c при С ~ 1, то представляет интерес d(Gim)c/dC при С = 1, для которой из (6) несложно получить выражение: / Сумма всех диаграмм Г), соединяющих узлы I и тЛ
d{G,
1т/с
дС
(7)
причем каждая диаграмма домножается на n(D), \где n(D) - число узлов в диаграммеJ
Эти примеры показывают, что манипулируя одним и тем же множеством диаграмм, можно получать ФГ, относящиейся к существенно различным ситуациям. Таким образом, возникает желание получить в распоряжение наблюдателя, который, двигаясь по диаграмме, следил бы за тем, какие узлы она посетила, считал бы их число и т.п. Для получения ФГ (5), например, требуется наблюдатель, который, двигаясь по диаграмме и попав в очередной узел, проверял бы не является ли этот узел одним из ri...rt узлов, атомы из которых удалены и, если это так, домножал бы диаграмму на нуль. Для получения ФГ (7) и (6), наблюдатель должен считать узлы, по которым прошла диаграмма, и домножить диаграмму на их число п( D) или на С"%1>К В разделе 2 мы покажем, что в ряде случаев возможно получить математическую реализацию такого наблюдателя, заменив матричные элементы Wrp в исходной ФГ (4) на специально построенные следящие операторы. Однако рассмотренные в разделе 2 задачи теории случайных блужданий, которые пока удалось до конца решить таким способом, довольно просты и имеют скорее иллюстративное значение. В разделе 3 рассматривается гараздо менее тривиальная (с нашей точки зрения) задача о степени локализации 0-состояния в одномерной цепочке с экситоном Френкеля [3], которая не имеет
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]