Строительные исследования
страница - 0
О разрешимости некоторых задач с нелинейными псевдодифференциальными операторами в главной части
К. О. Бесов (kbesov@mi.ras.ru)
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН 117966, Москва, ул. Губкина 8
Рассмотрены задачи на собственные функции для потенциальных и некоторых близких к ним типов операторов в пространствах Соболева-Слободецкого. Отличительной особенностью рассматриваемых операторов является присутствие нелокального члена - нелинейного псевдодифференциального оператора. Для ограниченной области с регулярной границей с помощью вариационного метода установлено существование по крайней мере одной (нетривиальной) собственной функции, тогда как в случае всего пространства Ж" собственных функций может не быть, что показано на конкретных примерах.
1. Введение
Вопросы существования собственных функций, т.е. разрешимость задачи
Fu + XGu = 0,(1)
для дифференциальных операторов с частными производными к настоящему времени достаточно полно исследованы. Для нелинейных операторов первые результаты в этом направлении появились более 30 лет назад (отметим работы Браудера [1], Бергера [2], Трудингера [3], Похожаева [4]). В этих работах был использован вариационный подход, который до сих пор является самым распространенным. Основное требование этого подхода - потенциальность операторов F и G. Другими словами, должны существовать такие функционалы If и 1д (потенциалы), для которых операторы F и G будут производными в смысле Фреше. В указанных работах рассматривались потенциалы, определенные на пространстве Соболева W"(0), следующего вида:
If(u)= I f(Vmu(x),x)dx, Ig{u)= I g(Vm-1u(x),x)dx.(2)
Здесь и далее О с R" - ограниченная область с достаточно регулярной границей, т, п е N,
V"u = {Dau : а < т}, Ет = {(„ : а < rn} е
ьМ
I)" а = ./," „„. М = 1 - число различных мультииндексов а с \а\ < т, а / =
UX ...OXfiТЬ 1
/(Нт, х) и д = g(Em i,x) - каратеодориевы функции, гладко зависящие от переменных
Ет и STO i соответственно, т.е. измеримые по х при каждом фиксированном значении Ет (Sm i) и непрерывно дифференцируемые по Ет (Sm i) при почти всех ж е О. Исходя из (2) получаем общий вид операторов F и G:
Fu(x)= ]Г (-l)\°\Dafa(Vmu(x),x),fa(Em,x) = f(Em,x), (3)
а<тоъ
Gu(x)= ]Г hlDaiVuix)), ga(~m-1,x) = 1g(Zm-1,x) (4)
a<m-1ъ
(так называемый обобщенный дивергентный вид). При дополнительных ограничениях на рост функций fa, да по переменной Ет (см. ниже предложение 2) операторы F и G корректно определены на всем W™(Q) и являются производными Фреше функционалов If и 1д. В этом случае будем говорить, что функционалы If, Ig и операторы F, G порождаются функциями / и д соответственно.
Для потенциальных операторов достаточным условием разрешимости задачи (1) будет разрешимость вариационной задачи с ограничением
Ig(u) = a, If{u) min(5)
при условии, что {и: 1д(и) = а} П {и: Gu = 0} = 0. Как известно (см., например, [13]), задача (5) разрешима при следующих предположениях:
(i) функционал If ограничен снизу;
(и) min{J/(u) : u = .R} ->• +оо при R ->• +оо (коэрцитивность);
(in) функционал If секвенциально слабо полунепрерывен снизу, т.е. для любой последовательности {ип}™=1, слабо сходящейся к некоторому элементу щ, выполнено неравенство 1${щ) < lim„00J/(tt„);
(iv) множества уровня Ма = {и : 1д(и) = а} секвенциально слабо замкнуты, а е R, т.е. Ма содержит вместе с каждой слабо сходящейся последовательностью ее предел.
Следует отметить некоторый недостаток используемой терминологии: свойства слабой непрерывности и слабой замкнутости являются на самом деле более сильными, чем обычные свойства непрерывности и замкнутости соответственно.
замечание 1. Нетрудно показать, что свойство (i) вытекает из (и) и (in). Мы включили его в список лишь для наглядности.
Дальнейшее развитие теории существования собственных функций происходило в нескольких направлениях. В частности, рассматривались операторы, имеющие вырождения или сингулярности по х (см. [8]) - в этом случае необходимо использовать пространства Соболева с соответствующим (вырожденным или сингулярным) весом. Другое направление исследований - поиск более общих ограничений на рост функций fa и да - привело к необходимости привлечения пространств Орлича-Соболева (см., например, [9]).
Данная работа является естественным продолжением указанных исследований. Основное отличие рассматриваемой ниже задачи от задачи (1) состоит в добавлении нелокального члена:
Фи(х) + Fu(x) + XGu(x) = 0, iGfi,
,(6)
Щдп = 0,
где
фФ) = J Е (-1)вА[ав(х,Л)ДЙ«(х)Г2ДЙ«(я:)] <*Л <U =(7)
а Кто
l\h(jU{X) -в -в, и < с/ < 1,
а функции аа определены на fi х 1" и удовлетворяют следующим условиям:
0 < G\ < aa(x,h) < С2 < оо, \а\ = т, dist(ar, R" \ О) > 2Л,
0 < aa(x,h) < С2, H<m, dist(ar, R" \ О) > \h\,(8)
аа(ж,Л) = 0, dist(x,R" \ О) <
Задача (6) рассматривается в пространствах Слободецкого1 Wp(Q), s = т + 9, 1 < р <
о
оо. При этом граничное условие в (6) понимается в смысле принадлежности и Е Wp(Q), а основное уравнение - в смысле равенства элементов из сопряженного пространства
Напомним определение пространств Соболева-Слободецкого.
При s = 0 имеем Wp(Q) = LP(Q). При s е N пространство Wp(Q) есть пространство Соболева, состоящее из функций и Е Lp(Q), все обобщенные частные производные которых порядка не выше s также лежат в Lp(Q),
H\PwH\PP,s= Е \\Dau\\pLpiny(9)
a<s
При s = к + 9, к Е Z+, 0 < 9 < 1, W£(Q) состоит из функций и Е W£(Q) с конечной нормой, определяемой равенством
4p,s = Н\РР,к+ Е \\\\х[а1и\\ьр(п)\\[Мшп, (Ю)
a=fe
14*) (к»)
Здесь х £ C°°(R2") - некоторая функция, удовлетворяющая условиям 0 < х < 1, X(x,h) = l при dist(x,R" \ О) > 2\h\, x(x,h) = 0 при dist(x, R" \ О) < \h\,
LW(R") - пространство Lp на R" с мерой dji = dh/\h\n.
1 Термин "пространства Слободецкого" часто относят только к гильбертову случаю W2s(fl). Однако мы придерживаемся другой позиции.
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]