Строительные исследования

назад Оглавление вперед

страница - 0

Математическая модель электрических потенциалов

головного мозга

И.Б.Мовчан (1) (imovcha@yahoo.com), А.Б.Синюхин (2) (1) С.Петербургский Гос.Университет, (2) НТЦ «Юпитер-Z»

That is one ofpublications, devoted for interpretation of homogeneous electric processes. The term "homogeneous" means we deal with one pathologic (anomalous) domain in the human brain that generates mentioned process while the domain itself can be heterogeneous on the physical property distribution. The principal new moment that had been considered is introducing of quantitative evaluations instead of empiric ones, being applied yet. We describe the solution of two particular problems: the detection of spatial position of anomalous domain as well as its time-related behavior (evolution). The first one is based on the linear programming method while the second one is supposed to be estimated by discriminate analysis.

Активное применение в клинической практике методов нейровизуализа-ции обусловливает развитие наглядных представлений данных электроэнцефалографического обследования. Один из наиболее распространенных методов функциональной диагностики, электроэнцефалография (ЭЭГ), локализует источник патологической активности в объеме мозга. Причинами возникновения такой активности может быть: наличие органических поражений структур мозга; нарушение корково-подкорковых взаимоотношений; функциональные нарушения на уровне стволовых структур мозга. На сегодняшний день интерпретация данных (ЭЭГ) носит качественный характер и в большой степени основана на эмпирическом опыте диагноста. Переход к количественным оценкам, как нам представляется, может быть основан на дипольной модели электрического потенциала головного мозга, что математически корректно в отсутствие искусственных источников электрического поля. Дипольной моделью называем систему из m пар связанных зарядов, вектор электрического момента которых и его положение в объеме мозга соответствует минимальному расхождению между наблюденными и вычисленными электрическими потенциалами. Дипольная модель оптимальна по числу подбираемых параметров и в то же время позволяет получить необходимую информацию о размещении активных зон и мгновенной направленности патологического процесса.

ЭЭГ показывает изменение во времени электрических потенциалов головного мозга, измеряемых одновременно в 19 точках (каналах) на поверхности головы, относительно стационарного потенциала электрода-референта. При обработке мы этот потенциал не учитываем, что дает пренебрежимо малую погрешность в оценке модуля вектора электрического момента диполя. Используя стандартную терминологию, определение параметров источника электрического поля по измеренным электрическим потенциалам головного мозга называем обратной задачей.

Дадим описание ее решения на основе произвольной модели источника. Метод решения: минимизация квадратичного функционала невязки значений потенциала наблюденного (р obs (xi, yi, zi) и потенциала рассчитанного

i= 1

Здесь xt, yt, zt - координаты точек наблюдения, P - {pi,p2,pm} - вектор параметров источника, подбираемых при некотором начальном приближении Po - {pi°,P°,.",Pm }• Функционал F{p) убывает в направлении, противоположном вектору градиента gradF (p )• Иначе говоря, если через точку P° провести прямую, то значение минимизируемого функционала для любой точки этой прямой может быть записано в виде [2

F - Fр° - % • gradF{p° )],(2)

откуда можно принять, что F - F{%), где % - параметр регуляризации, конечное значение которого %° удовлетворяет условию F{%°) - min F • Для вычисления % на каждом шаге итерации решаем дифференциальное уравнение вида

и определяем таким образом следующую после начального приближения точку на прямой

Pi - P° - % • gradF {~°).(4)

По логике итерационного подбора Pi принимается теперь за начальное

приближение с тем, чтобы определить следующий вектор P2 на пути к

глобальному минимуму функционала F {р )• Окончательно итерационный поиск записывается системой уравнений вида

HiFi% к1 зр

........................ ,(5)

р(к+i) - р(к) - % Fk

где %к определяем на к м шаге итерации по приближенной формуле

%к - -г-7 •(6)

*= i

При этом допускаем, что выполненные расчеты имеют нулевую погрешность и учитываем лишь погрешность наблюдение

Введем в рассмотрение конечный диполь и элементарный диполь (биполь) вместо произвольного источника электрического потенциала головного мозга Как известно, их потенциал:

- q{Ri - R2) - ql cos« - М R Ri R2R2 R3

где M - вектор электрического момента диполя, Rf и R - радиус-векторы

(рисЛ) Очевидно, модель биполя проще в смысле сходимости итерационного подбора В то же время, эта модель не единственна: в случае, когда расстояние от точки наблюдения до активной области мозга соизмеримо с размером этой области, необходимо переходить к конечному диполкх Недостаток дипольной модели состоит в том, что в силу особенности математического аппарата невозможно получить информацию об объеме активной области головного мозга В общем случае будем использовать модель, представленную системой из m биполей

Рис.1

Для записи в явной форме квадратичного функционала невязки (1) раскроем числитель в (7)

M R MxRx + MyRy + MR Mx (С - x) + My (т - y) + Mz (n - z), (8) где x, y, z - координаты положения биполя, С, т, n - координаты точки измерения электрического потенциала. Таким образом

(()MX (Сг - x,)+(j My (тг - y,)+(j )Mz (Vl - z})

F = Z

j = 1

(9)

Здесь n - число точек наблюдения электрического потенциала (в эксперименте принимается равным 19), m - число подбираемых диполей. Степень сглаженности поля потенциала и соображения сходимости процесса подбора не позволяют увеличивать m больше 3. Исходя из (9), перепишем систему (5):

Mx(

(j)M(k+1) (j)M(k) - %kFk

,(k+1) v(k)

y(k+1) y(k) - s Fk

<k+1)

(10)

Параметр регуляризации в ней подбираем для каждой итерации соответственно формуле (5). Причем производные функционала Fk , pj по параметру pj

Pj>

многомерного вектора P вычисляются следующим образом: - производные по составляющим вектора электрического момента

4M,

1 х

) M,

4M.

; (11)

производные по координатам биполя

F y s I 3(С> - }f ])Mx (d - x} )+ U)My (т, - )+(f)Mz fe - z] )} j)Mx

содержание:
[стр.Введение] [стр.1]