Строительные исследования
страница - 0
О статистических постулатах в моделях механики сыпучих тел Ротенберг А.В. (technoproekt@technologic.ru )
НПП «Технопроект» г. Пенза
1. ВВЕДЕНИЕ
Благодаря развитому в настоящее время аппарату дифференциальных уравнений в частных производных, для анализа механики сыпучего тела (СТ) широко используются континуальные модели [ 1 ].
Возможность использования той или иной континуальной модели для СТ требует обоснования, в рамках которого формулируются ограничения на параметры СТ, на параметры внешних воздействий и на режимы движения СТ, чем задается область применимости и точность механических расчетов.
Обоснованием континуальной модели СТ обычно являются либо данные экспериментов, либо теоретические соображения, либо комбинации тех и других [ 2 ]. Эти модели в общем случае приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных.
Наиболее последовательным теоретическим обоснованием континуальных моделей представляется статистическое рассмотрение, поскольку оно является изначально наиболее детальным и приводит к обобщенному уравнению переноса (уравнению Энскога), дающему приближение сплошной среды. При этом переходе (от статсистемы к приближению сплошной среды) видны вводимые упрощения и ограничения [ 3 ].
В свою очередь известны работы, в которых СТ рассматриваются как чисто статистические системы, при этом используются соотношения классической статмеханики и физической кинетики, полученные для систем микрочастиц [ 4 ]. Однако поскольку СТ представляет собой систему не микро, а макрочастиц, то перенос соотношений статмеханики и физкинетики на сыпучую среду без анализа обусловленных этим обстоятельством ограничений представляется неправомочным.
Например, одной из существенных особенностей СТ-системы является отсутствие безоговорочной применимости методов теории вероятности, являющейся основой статфизики систем микрочастиц (молекулярных систем). Это связано с тем, что, если в изучаемых молекулярных системах число частиц имеет порядок не менее 1 020, то в
210
рассматриваемых объемах сыпучих сред число частиц может иметь порядок 10 ... 10 .
210
Применимость методов теории вероятности в системах СТ при числе частиц ~10 ...10
2. АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ ПОСТУЛАТОВ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ В СТ-СИСТЕМАХ.
В данном разделе приводятся постулаты статмеханики и обсуждаются ограничения и условия, обеспечивающие их применимость к описанию СТ. Постулат 1. Система содержит большое число частиц N.
Математическим аппаратом статистической механики является теория вероятностей. Требованием большого числа частиц N обеспечивается точность предсказаний макропараметров системы.
Получим численную оценку величины N. Для этого воспользуемся следующей теоремой из теории вероятностей: если имеется система, состоящая из N независимых частей, то относительная флуктуация Su любой аддитивной функции состояния U пропорциональна величине, обратной корню квадратному из числа частей N [ 3 ] :
(1)
Под U для определенности можно иметь в виду внутреннюю энергию статсистемы N частиц. В нашем случае части системы - составляющие ее частицы. Введем величину :
я =1 -т .(2)
не всегда очевидна, что приводит к необходимости анализа применимости статистического описания для СТ- систем.
Кроме того, неочевидно и безоговорочное перенесение на СТ таких статистических требований, как тождественность частиц, эргодичность СТ-системы, квазизамкнутость, хаотичность.
В настоящей статье представлены результаты анализа применимости аппарата классической статистики в механике СТ, заключающегося в определении условий и ограничений на СТ, внешние условия и условия наблюдения, при которых СТ, как система частиц, подчиняется набору статистических постулатов. Полученные условия и ограничения будут являться как обоснованием статмоделей СТ, так и обоснованием континуальных моделей СТ, выводимых в физической кинетике как приближение сплошной среды из обобщенного уравнения переноса (уравнения Энскога).
Прикладное значение величины ф заключается в следующем: задаваясь минимально допустимой величиной ф , по (2) можно оценить минимальное число частиц системы, обеспечивающее возможность ее статистического рассмотрения с заданной погрешностью (р}: например, при ф;=0,9 Nmin=100 ; при ф,=0,99 Nmin=10000 и т.д.
При практических инженерных расчетах в механике СТ, как правило, пересчитать непосредственно число частиц не представляется возможным. Поэтому величину N оценивают следующим образом :
где V - связный объем, занимаемый сыпучим телом,
0 - коэффициент заполнения объема частицами СТ, v - объем одной частицы.
Отсюда, при заданном СТ (известны параметры @ и v) и (рь из (2) получается условие на объем V :
V (4)
Постулат 2. Система может быть разбита на большое число квазизамкнутых подсистем.
Требование квазизамкнутости подсистем обеспечивает совмещение двух свойств статсистемы : с одной стороны, взаимодействие ее подсистем со своим окружением должно быть достаточным для того, чтобы обеспечить возможность перехода системы в новое равновесное состояние за конечное время при изменении внешних условий; с другой стороны, это взаимодействие должно быть достаточно малым для того, чтобы подсистемы были статистически независимыми, что требуется для применимости теоремы о сложении вероятностей.
Совместить два этих условия можно одним из следующих способов : 1 ) потребовать, чтобы в течение времени наблюдения время взаимодействия подсистем в среднем было много меньше времени их невзаимодействия (изолированности);
2)потребовать, чтобы энергия взаимодействия подсистем была много меньше их внутренней энергии;
3)совместить требования 1 и 2.
Рассмотрим условия, налагаемые на статсистему этими требованиями.
содержание:
[стр.Введение] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4]